今回の場合の極限(x→+∞に飛ばす)は、絶対値をつけなくても問題はありません。
ですが、同じ関数で、x→∞もしくはx→-∞の極限を考える際は話が違ってきます。ここで、なぜ絶対値で考えるのかの背景が出てきます。
x→-∞の場合は、cosx/x の定義域がx≠0より、x<0の範囲で考えると、
-1≦cosx≦1から、x<0に注意して両辺xで割ると
1/x ≦ cosx/x ≦ -1/x
| cosx/x | ≦ -1/x (x<0) ･･･①
x→+∞の場合は、x>0の範囲で考えれば良いので
-1≦cosx≦1から、両辺xで割ると
-1/x ≦ cosx/x ≦ 1/x
| cosx/x | ≦ 1/x (x>0) ･･･②
①,②から結局、x→∞の極限は、x→+∞とx→-∞の両方を含む(①と②を合わせた)
| cosx/x | ≦ 1/|x|
を考えれば良いとわかります。
このことから、どちらの、もしくは両辺の極限を求めるとき、解き方を統一して
0≦|cosx|≦1
で考えれば楽だよねっという考え方です。
(これが1つ目と2つ目の質問について)
3つ目の質問について
これは、収束値が0なので問題なく成り立ちます。
もし、
lim ₋(x→+∞) | cosx/x | = 1/2
なら, cosxは振動するので
lim ₋(x→+∞) cosx/x
は、1/2か-1/2になるかはわかりません。ですが収束が0となることから、この考えが成り立ちます。
ここは臨機応変に対応するしかありません。例えば
lim ₋(x→a) | x | ･･･③
なら, cosxは振動するので
lim ₋(x→a) x ･･･④
を考える際は
a=0のとき、③=④=0
a>0のとき、③=④=a
a<0のとき、 ③=-a , ④=aより③≠④
したがって、③=④はa≧0のときのみに限り成立します。
このように、常に絶対値をつけた極限と外した極限が一致するとは限らないことに注意しましょう。
ですが、一致する場合にはすごく便利な考え方なので使えるようになると良いと思います。
長くなってしまい申し訳ありません。
わかりにくかったらすいません。
1つ目と2つ目についての解説が理解できないです😭丁寧に説明してくださってるのにすいません🙇♀️
・なぜ、x→−∞の場合はx<0、x→∞の場合はx>0の範囲で考えるのですか？
・①と②の式は一本前の式の状態からどのようにして
導かれたのですか？
3つ目の質問に関しては理解することができました！ありがとうございました😊
返信遅れてすいません。
一つ目
x→+∞というのは、xを正(x>0)の大きい値(10000とか10¹⁰など)に飛ばすという意味なので、x>0で考えます。
乱暴に言うと、「xをめちゃくちゃ大きくしたときの値に興味があるから、xが負のとき(x<0)の範囲の値には興味がない」といった感じです。
x<0はその逆だと考えてください。
2つ目
1/x ≦ cosx/x ≦ -1/x
から
| cosx/x | ≦ -1/x (x<0) ･･･①
の変形ですが、今、x<0について
1/x ≦ cosx/x ≦ -1/x
を考えているので、x<0のとき、
1/x <0 (1/x は負の値)
-1/x >0 (1/x は正の値)
なので、
-1≦a≦1 が |a|≦1
と変形できるのと同じようにして
| cosx/x | ≦ -1/x (x<0) ･･･①
とする事ができます。
ここで、xは変数だからこういう変形はできないんじゃないの？ と思うかもしれませんが、肝は"x<0"で考えているということで、
1/x と -1/x の符号が決定できるためにこういう変形ができます。
わかりにくかったらすいません
回答ありがとうございます！
今理解しようとしておりますので、どうか削除しないで頂きたいです！よろしくお願いします🙇♀️
疑問点があったら、質問させて頂きたいです！！