数学
高校生

数3の積分の問題です。答えはわかっているのですが解き方が途中式がわかりません。教えていただけるとありがたいです。

2ペ-1 dx xサ+X (テ)
積分

回答

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部分分数分解

 (2x³-1)/(x⁴+x)

=(2x³-1)/{x(x+1)(x²-x+1)}

=[(2x-1)/(x²-x+1)]+[1/(x+1)]-[1/x]

与式=∫[(2x-1)/(x²-x+1)]dx+∫[1/(x+1)]+∫[1/x]

●∫[f'(x)/f(x)]dx=log[f(x)]より

  ∫[(2x-1)/(x²-x+1)]dx=log[x²-x+1]

  ∫[1/(x+1)]=log[x+1]

  ∫[1/x]=log[x]

与式=log[x²-x+1]+log[x+1]-log[x]+C

  =log[(x²-x+1)(x+1)/(x)]

  =log[(x³+1)/(x)]

  =log[x²+(1/x)]

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