Question

おと

(1)の解説の4行目まではわかったのですがなぜA→Bの経路のかずが2nCnになるのかがわかりません。。

どうやってkを消去してるんでしょうか。。
どなたか教えてくださると幸いです🙇‍♀️

(0,0) に, 乙は B 地点(n, n)にいる。
やや心用的になりますが, ついでなので一般形について解説しておきまし
甲が1 秒毎に上隣の地点(道路の交点)
127
図のような格子状道路があり,ある時刻に甲は A 地点
(発展問題】
か
Y Qa
乙
B
n-k
1
n
右隣の地点に移動
2
に移動する確率を
;k
一般
す。
とする.また乙は1秒毎に
する確率を
で左隣の地点に, 確率 -
n-k
ると
確率
で下隣
2
甲
A
k
の地点に移動する.
(1 ) 甲が地点Q&(k, n-k) (0<k<n)を通ってB地点に行くとき,
そのときの甲が通ることができる経路の数をnとkで表せ、
n C
また, E(»Ck)。をnで表せ、
k=0
(2) 甲が地点 Q& (k, n-k) (0<k<n)を通る確率 p& を求めよ。
(3) 2人がどこかで出会う確率を求めよ。
(1) A→ Qkは横に「k, 縦に n-k行くから, この間の経路は
紀
n!
nC&=
通りあり,Q&→BもヵCょ通りある。
よって A→ Q&→Bの経路の数は (nCk)? 通り
ある。E(»Ck)? はA→ Qょ→Bの経路の数をすべての&について加えたも
k=0
のなので, それは A→B の経路の数 2n Cnになり
n
E
(nCA)? = 2n Cn ……①
です。 A→B の経路の数を2通りで数えることによって等式を導いているの
ですが, これがなかなか気づかないようです. あるところで, 優秀な人達
30人くらいに解いてもらったときは2,3人しかできませんでした。
Dょはn回の移動のうち右にk回, 上に n-k回移動する確率で
k=0