Question

へびくん

なぜf’(x)=0だとf(x)は定数関数になるんですか？

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

マスティ☆

導関数が0ということは常に傾きが0の関数、つまりxy平面上で横一直線の直線になります。このような関数は定数関数ですよね。

へびくん

納得です

Answer 2

泳ぐエビフライ

平均値の定理の系
f(x)が開区間I(a,b)上で微分可能であり,その区間において恒等的にf'(x)=0であるとする.
このときf(x)は開区間I上で定数関数である.

証明
a＜c＜bとなるようなcをとり,k=f(c)とする.
x=cのときf(c)=k
x＜cのときf(x)は開区間I(a,b)で微分可能で、閉区間[x,c]上で連続である.平均値の定理より
f(c)－f(x)=f'(d)(c－x)となるようなx＜d＜cが存在し、仮定よりf'(d)=0であるからf(x)=f(c)=k
x＞cのときも同様.⬜

泳ぐエビフライ

最初の条件に追加
a＜b

泳ぐエビフライ

(余談)
f'(x)=0だとf(x)は定数関数？
これは直感的に定数関数になりそうである.
しかし,この場合区間などが不明瞭なため反例が存在する.
f(x)=x≦0のとき0,x＞0のとき1
のような関数もf'(x)=0だけど定数関数だろうか？と疑問を抱くことだろう.
この場合はx=0に微分可能でないのが主な問題である.(f'(x)=0はすべてのxで成り立つとは言われていない)
このように区間や変域,連続性や微分可能性というものは微分積分において非常に重要な情報である.

Answer 3

ログアウト済み

微分すると 0 になるのは定数だからです。