基礎事項
頂点や軸に関する情報が与えられた場合は、2次関数の式を求めるときは、2次関数の基本形y=a(x－p)²+qから考える。
[なぜなら、y=a(x－p)²+qなら、軸はx=p、頂点の座標は(p,q)と表せますよね]
それ以外の時は、2次関数の式を求めるときは、2次関数の基本形y=ax²+bx+cから考える
では、解いていきます。
練習19 すべて頂点に関する情報が与えられているから、2次関数の基本形y=a(x－p)²+qから考えます
(1)求める2次関数をy=a(x－p)²+qとすると、頂点が(1,2)ということは、p=1、q=2であるから、代入して、
y=a(x－1)²+2
これが点(0,5)を通るから、5=a(0－1)²+2
5=a+2 ゆえにa=3
よって、求める2次関数は、y=3(x－1)²+2 (これを展開してy=3x²－6x+5でも可)
(2)求める2次関数をy=a(x－p)²+qとすると、頂点が(6,0)ということは、p=6、q=0であるから、代入して、
y=a(x－6)²+0
これが点(4,－8)を通るから、－8=a(4－6)²+0
－8=4a ゆえにa=－2
よって、求める2次関数は、y=－2(x－6)² (これを展開してy=－2x²+24x－72でも可)
(3)求める2次関数をy=a(x－p)²+qとすると、頂点が(－2,5)ということは、p=－2、q=5であるから、代入して、
y=a{x－(－2)}²+5 すなわち、y=a(x+2)²+5
これが点(1,－4)を通るから、－4=a(1+2)²+5
－4=9a+5 ゆえにa=－1
よって、求める2次関数は、y=－(x+2)²+5 (これを展開してy=－x²－4x+1でも可)
続く
(3)求める2次関数をy=ax²+bx+cとする。
このグラフが3点(0,5)(1,4)(－1,10)を通るから、
5=c・・・① ←y=ax²+bx+cに座標(0,5)を代入した
4=a+b+c・・・② ←y=ax²+bx+cに座標(1,4)を代入した
10=a－b+c・・・③ ←y=ax²+bx+cに座標(－1,10)を代入した
後は①②③から、a,b,cの値を求めるだけ。
①より、c=5であるから、②③に代入して、
4=a+b+5 すなわち、－1=a+b・・・④
10=a－b+5 すなわち、5=a－b・・・⑤
④+⑤(bを消している)より、4=2a すなわち、a=2 これを④もしくは⑤に代入して、b=－3
[④－⑤(aを消している)より、－6=2b よって、b=－3 これを④もしくは⑤に代入して、a=2でも可]
以上より、求める2次関数はy=2x²－3x+5
分からなければ遠慮なく質問してください
練習20
(1)求める2次関数をy=ax²+bx+cとする。
このグラフが3点(2,17)(0,1)(－1,5)を通るから、
17=4a+2b+c・・・① ←y=ax²+bx+cに座標(2,17)を代入した
1=c・・・② ←y=ax²+bx+cに座標(0,1)を代入した
5=a－b+c・・・③ ←y=ax²+bx+cに座標(－1,5)を代入した
後は①②③から、a,b,cの値を求めるだけ。
②より、c=1であるから、①③に代入して、
17=4a+2b+1すなわち、16=4a+2b・・・④
5=a－b+1 すなわち、 4=a－b・・・⑤
④+⑤×2(④⑤からbを消している)より、24=6a
よって、a=4 これを④もしくは⑤に代入して、b=0
[④－⑤×4(④⑤からaを消している)より、0=6b よって、b=0
これを④もしくは⑤に代入して、a=4でも可]
以上より、求める2次関数はy=4x²+1
(2)求める2次関数をy=ax²+bx+cとする。
このグラフが3点(0,－3)(－3,6)(－2,1)を通るから、
－3=c・・・① ←y=ax²+bx+cに座標(0,－3)を代入した
6=9a－3b+c・・・② ←y=ax²+bx+cに座標(－3,6)を代入した
1=4a－2b+c・・・③ ←y=ax²+bx+cに座標(－2,1)を代入した
後は①②③から、a,b,cの値を求めるだけ。
①より、c=－3であるから、②③に代入して、
6=9a－3b－3 すなわち、9=9a－3b すなわち、3=3a－b・・・④
1=4a－2b－3 すなわち、4=4a－2b すなわち、2=2a－b・・・⑤
④－⑤(bを消している)より、1=a これを④もしくは⑤に代入して、b=0
[④×2－⑤×3(aを消している)より、0=b よって、b=0 これを④もしくは⑤に代入して、a=1でも可]
以上より、求める2次関数はy=x²－3
続く