して
を作る
を作る
12
bc²
ac²
b²a
ba²
a'c
(a+c) l² + (a²+ C²) f + ac(n+c)
基本例題29 不等式の証明 (絶対値と不等式)
次の不等式を証明せよ。
(1) |a+b|≦|a|+|0|
解答
125
CHARTO SOLUTION
L(1)(|a|+|6|²-la+b=(a+2|a||6|+|612)-(a+b)2
=a²+2|ab|+b²(a²+2ab+b²)
=2(abl-ab)≧0
よって
la+b1²(lal+160²
Wa+b≧0,|a|+|6|≧0であるから
lat6|≦|a|+|6|
lal-lbsla-b
2(-al-al)
2
|a|≧|a-6|+|6|
よって
ゆえに
|a|-|6|≦|a-6|
[別解] [1] |a|-|6| < 0 すなわち |a| <|6| のとき
よって
(al-lb)² ≤la-b1²
|a|-|6|≧0,|a-b≧0であるから
lal-lb|≤la-bl
1-A²
似た問題 1 結果を使う ② 方法をまねる
(1) 絶対値を含むので、このままでは差をとりにくい。 [A= A2 を利用すると,
絶対値の処理が容易になる。 よって、 平方の差を作ればよい｡
(2) 不等式を変形すると
|a|≦la-6|+|6|← (1) と似た形
そこで, (1) の不等式を利用することを考える。
①の方針
別解 -lal≦a≦lal, -16|≦b≦bであるから
辺々を加えて
-(|a|+|6|)≦a+b≦|a|+|6|
|a|+|6|≧0であるから
la+6|≦|a|+|6|
(2) (1) の不等式の文字α を a b におき換えて ab30mm
の
|(a−b)+b|≤la-b|+|b|
2 (al-ab)=
左辺) < 0, (右辺)>0 であるから不等式は成り立つ。
[2] |a|-|6|≧0 すなわち |a|≧|6のとき
移
la-bp-(lal-lb)²=(a−b)²(a²-2|ab|+b²)
=2(−ab+labl)≧0
-2al <0
al 20
0100000
M
Ap.38 基本事項4. 基本 28
JAL
a=-ch
(
atc=
a²+c² = -29%
A <0 のとき
=0
linf. A≧0 のとき
-|A|≦A=|A|
-|A|=A<|A|
であるから,一般に
-|A|≤A≤|A|
47
更に,これから
||A|-A≥0, |A|+A≥0
c≧0のとき
-c≤x≤c⇒ x≤c
x≤-c, c≤x
x≧c
1章
4
等式・不等式の証明
◆②の方針。 |a|-|6|が負
の場合も考えられるの
で, 平方の差を作るには
場合分けが必要。
inf 等号成立条件
(1) は ① から, labl=ab,
すなわち, ab≧0のとき
よって, (2) は (a-b)≧0
ゆえに (a-b≧0かつb≧0)
または (a-b≦0かつb≧0)
すなわちab≧0 または
a≦b≧0のとき。
不等号を証明って言われてんのに証明したい不等号を使ってる意味がわからないです