重要 例題119 2変数関数の最大最小 (4)
実数 x, yがx+y。=2 を満たすとき, 2x+yのとりうる値の最大値と最小値を
求めよ。また,そのときのx, yの値を求めよ。
【類南山大)
基本 98
指針> 条件式は文字を減らす方針でいきたいが,条件式x°+y°=2から文字を減らしても,
2x+yはx, yについての1次式であるからうまくいかない。
そこで,2x+y=tとおき, これを条件式とみて文字を減らす。
計算しやすいように y=t-2x として yを消去し,x+y?=2 に代入すると
x?+(t-2x)=2となり, xの2次方程式 になる。
この方程式が実数解をもつ条件を利用すると, tのとりうる値の範囲が求められる。
実数解をもつ-→ D20 の利用。
3章
13
CHART最大·最小 =Dt とおいて, 実数解をもつ条件利用
2
次
解答
2x+y=tとおくと
これをx+y°=2に代入すると
ソ=t-2x
の
実数 a, b, x, yにつ
いて,次の不等式が成り立つ
(コーシー·シュワルツの不
参考
式
整理すると
このxについての2次方程式②が実数解をもつための条件は,
2の判別式をDとすると
x+(t-2x)°=2
5x-4tx+?-2=0
等式)。
(ax+by)<(a'+b6)(x+y')
[等号成立は ay=bx]
2)
D20
a=2, b=1を代入すると
ここで
4
2=(-2t)°-5(P-2)=-(?-10)
x°+y°=2 であるから
(2x+y)°<10
D20から
これを解いて
t?-10<0
ー/10 Sts/10
よって
-10 2x+yい/10
(等号成立はx=2yのとき)
このようにして,左と同じ答
えを導くことができる。
-4t_2t
t=±/10 のときD=0 で,②は重解x=-
2-5 -をもつ。
2/10
t=±V10 のとき x=±
5
10
のから y=±
5
(複号同順)
したがって x=
5
2/10
V10
ソミ
のとき最大値V10
5
2/10
10
x=ー
5
のとき最小値 - V10
5
ソミー
