Question

右京

教えてください

g, 5, ec, ヵ を実数とする。 不等式

gz 十0z十c>0
22上cz十g>0
cz 十gみ十5>0

をすべて満たす実数 z の集合と、ァ>ヵゎを満たす
実数 z の集合が一致しているとする。

(1) o, 60 cはすべて 0 以上であることを示せ。

(2) 2, 6 cのうち少なくとも 1 個は 0 であること
を示せ。

(3) ゎぁ= 0であることを示せ。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

あいうえお

解答の方針だけ書きます。これが一番簡単なやり方かどうかは分かりません。分からなかったら質問してください。

問題文の前者の集合をA、後者の集合をBとしておきます。
また、３つの不等式の左辺を上からf(x),g(x),h(x)とします。
ここで注意としてBに含まれる元はいくらでも大きくなれるが、下にはpという制限があるということです。なのでAもそうなるようにしなければなりません。

(1)
一個でも0未満があるとします。対称性があるのでa<0と仮定します。するとf(x)は下に凸の放物線なので、xをいくらでも大きくすることを許可してしまうと一番上の不等式が成り立ちません。なので矛盾です。

(2)
全部0でないとします。するとf,g,hは直線にはならず、全て放物線です。また(1)より全て下に凸です。このときxをいくらでも小さくできると、３つの不等式が成立してしまいます。(下に凸の放物線が３つ並んでいるのを想像すると分かりやすい。)これはBと矛盾してしまいます。

(3)
(2)と対称性からa=0と仮定し、それぞれの不等式をとき、xの共通の範囲を出せばpが0でなければならないと分かります。