Question

なごみ

赤い線を引いたところの式が何をしている式なのかが分かりません。教えて欲しいです！

10
B
必 242.
方
応用問題
座標平面上の曲線 y=logx (x>0) をCとする。 C上の異なる2点A(a, loga),
P(t, logt) における法線をそれぞれl1, l2 とし, l l の交点をQとする。 また, 線分
AQ の長さをdとするとき. 次の問いに答えよ。 ただし, 対数は自然対数とする。
(1) dat を用いて表せ。
(2)PがAに限りなく近づくとき,dの極限値をとする。 rをαを用いて表せ。
(3) αがα>0の範囲を動くとき (2)で求めたの最小値を求めよ。
[21 山口大理 (後期)]

式は
x
0
1
f'(x)
したがって, x>0 において f(x) ≧0で
0
f(x)
あるから
2√xlogx+2
0
(2) (1)より, x>0 のとき
logx ≤2√x-2
logx
2√2-2
よって, x>1のとき
0
S
x
lim-
2√x-2-lim(1/2-2/21)2=0であるから、はさみうちの原理
x
811
により
lim
10gx = 0
x
1241 〈座標平面上を運動する点の速度〉
(1)
dy
(1) v=(dx, dy), |v|= √(dx)² + (dv)²
dx
dt
dt
dt
のときの極限を
求めるから、x1 の場合
を考えれば十分
おける法線の傾きは
よって、ムの方程式は
y-loga=-a(x-a)
y = -ax+a2+loga
すなわち
であるから, A(a, loga) に
y
P
-a
log----.
C
◆点Aにおける接線の傾きは
1
Oa
a
1
log a
法線の傾きをmとすると
A
d---- Q
e
=-1
①
同様にして、4の方程式は
y=-tx +12+logt
①②からyを消去すると
......
②
-ax+a2+loga=-tx+2+logt
(t-a)x=(t+a) (t-a)+(logt-loga)
logt-loga
(3) cos 0=
整理すると
OP
OPを調べる。
よって
x=ttat
t-a
の傾きはαであるから
= ecost-e'sint=e(cost-sint)
dy
=efsint+ecost=e'(sint+cost)
dt
よって
v=(e(cost-sint), e'(sint+cost))
したがって
|v|={e^(cost-sint)}+{e(sint+cost)}
=√e2t(1-2sintcost) + e2t (1+2sintcost)
=√2ezt=√2et
(2)=2のとき
v=(-e, e)=e(-1, 1)
=(1,1) とおくと, こがx軸の正の
向きとのなす角は, 右の図から
3
3
0 であるから
a=%
d=√a²+1(t+a+
=√a²+1(t+
logt-loga)-a
t-a
logt-loga
(2)f(t) =logt とおくと
lim-
t-a
logt-loga=f'(α)
t-a
1-a
√√a²+1
ここで,f(t)=1/2 であるから
f'(a) = 1
e'>05 @dr
V4
よって
==
t-a
=
√a²+(a+1)=(a+1)
r=limd=lim√a+1(t+logt-loga)
4
0
(3) †' = 3a(a²+1)½•a−(a²+1)ª²º•1 _ (2a²−1)√a²+1
a²
a>0 において r' =
0 とすると
a²
a=
√2
a
0 ...
r'
1 2
<<->0,
0 +
logt-loga >0
t-a
←lim
f(t)-f(a) = f'(a)
-a t-a
> 0 におけるrの増減表は右のよ
うになる。 したがって,rは
極小
r
3√3
>
1
①でない2つのベクトル,
ものなす角を0とすると
√2
a= で最小値
3√3
をとる。
2
2
a-b
(3) OP=(e'cost, e'sint), |OP|= √(e'cost)²+(e'sint)²=e391
したがって
cos =
v.OP e2t (cost-sint) cost+e2t(sint+cost)sint
OP
√2 e'e'
cos't+sin't
1
√2
√2
OMOであるから 0 = 1
よってOPのなす角 0は一定である。
242 〈法線に関する線分の長さの極限値〉
(1) ls, l2 の方程式を連立させてQのx座標を求める。
f(x)-f(a),
(2) 微分係数の定義 lim
=f'(α) を利用する。
I-a
x-a
cos0=
lalb
243 〈4次関数が極大値をもつ条件>
f(x)の値が正から負に変わるようなxが存在することが必要十分条件。 そのようなxが存
在するのは,f'(x) が減少する区間である。
f(x) が極大値をもつための必要十分条件は,xの値が増加するとき,
f(x) の値が正から負に変わるようなx が存在することである。
g(x) =f'(x)=4x²-2x+b とおくと
g'(x)=12x2-2a=2(6x2-a)
問(理系)
221

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

かき

貼りますね

なごみ

なるほど！納得しました！わかりやすい回答ありがとうございました！！