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最初から解いていきます.
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(1)sin(π/4)=cos(π/4)=1/√2に注意して
f(π/4)=4sin^2(π/4)-a=2-a=0⇔a=2.
(2)倍角公式から
sin2x=2sinxcosx,
cos2x=2cos^2x-1=1-2sin^2x⇔2sin^2x=1-cos2xなので
f(x)=sin2x+(1-cos2x)-a=sin2x-cos2x-1
=√2sin(2x-π/4)-1と変形できる.
[三角関数の合成公式を利用する. 検算は加法定理から出来る. cos(-π/4)=1/√2, sin(-π/4)=-1/√2]
0≦x<πならば-π/4≦2x-π/4<7π/4の範囲を動くことになるので[2xは2倍回る. 2πは単位円一周です]
f(x)は-√2-1≦f(x)≦√2-1の範囲を動く.
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[ここからは自分でやってから見てください]
(3)1<√2<2なので-3<-√2-1<-2, 0<√2-1<1がいえる.
したがってf(x)が負の整数となるのは-1, -2のときである.
f(x)=-1のとき, 0≦x<πの範囲で√2sin(x-π/4)-1=-1⇔sin(x-π/4)=0⇔x=π/4
f(x)=-2のとき, 0≦x<πの範囲で√2sin(x-π/4)-1=-2⇔sin(x-π/4)=-1/√2⇔x=0
以上からx=0, π/4.
[注] 三角関数の合成公式
asinθ+bcosθ=√(a^2+b^2)sin(θ+α)=rsin(θ+α)
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このままだとαの条件が分かりにくいですよね. 右辺から辿ってやりましょう.
加法定理から
r(sinθcosα+cosθsinα)=(rcosα)sinθ+(rsinα)cosθ
と書けます. これがasinθ+bcosθと同じなので
a=rcosα, b=rsinα⇔cosα=a/r, sinα=b/r
となっていることを確認できます.
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[発展] 同様の議論から
asinθ+bcosθ=rcos(θ-β), sinβ=a/r, cosβ=b/r
となることが分かります.
ありがとうございます(*´`)
(3)1<√2<2なので-3<-√2-1<-2, 0<√2-1<1がいえる.
"したがってf(x)が負の整数となるのは-1, -2のときである."
の部分なのですが、""の箇所がいまいち分かりません。不等式の範囲に入ってないのに入っていないのに条件を満たせる値になるのはなぜなんでしょうか？
そこの部分で何をやろうとしているのかを考えてください.
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①-√2-1≦f(x)≦√2-1に含まれる負の整数を知りたい
②-√2-1と√2-1の整数部分を知るために, 1<√2<2で評価する.
③-3<-√2-1<-2なので整数部分は-2, 0<√2-1<1なので整数部分は0
[並べると-3<-√2-1<(-2, -1, 0)<√2-1<1]
④①の不等式に含まれる負の整数は-2, -1[0は負の整数ではありません]
なるほどです…！
とても分かりやすくて助かりました ありがとうございます(*´`)
[訂正] 最後, 大ポカをしているので下のように変更してください.
f(x)=-1のとき, 0≦x<πの範囲で√2sin(2x-π/4)-1=-1⇔sin(2x-π/4)=0⇔x=π/8
f(x)=-2のとき, 0≦x<πの範囲で√2sin(2x-π/4)-1=-2⇔sin(2x-π/4)=-1/√2⇔x=0
以上からx=0, π/8.