Question

よわよわ

I_n=∫1/{(1+cosx)^n} dxに対してI_n-1、I_nの漸化式を求めろ

という問題
始めは、1/{(1+cosx)^(n-1)*1/(1+cosx)で部分積分しようかと思ってたが、もともとが分数のためにうまくいきそうにない
数学つよつよな人、解き方教えて欲しい

積分漸化式

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

gößt

確かにうまくいかなそうな気にもなりますが、そのまま部分積分で求められると思います

よわよわ

f=1/(1+cosx)^(n-1)，f'=(n-1)sinx*{1/(1+cosx)^n}
g=tan(x/2)，g'=1/(1+cosx)
なので∫f*g' dx=f*g-∫f'*g dxを行うと右辺第二項目で
sinxやtan(x/2)があるので先に進みづらそうですが...
この先はどう考えますか？

gößt

なるほど、自分で計算したときは
　g=(1-cosx)/sinx, g'=1/(1+cosx)
でやってたので右辺第二項は cosx だけの式になってました

(1-cosx)/sinx だと x=2nπの ときに定義できないのが気になるのでしたら、
　sinx=2sin(x/2)cos(x/2)
とすれば tan(x/2) との積がきれいに計算できると思います

よわよわ

何度も申し訳ない
数学よわよわすぎて一日中考えてもわからない

確かにその方法で右辺第二項が
-(n-1)∫(1-cosx)/{(1+cosx)^n} dx
と綺麗になりましたがその後が何度試しても出来ない
もう一度1/{(1+cosx)^(n-1)}*(1-cosx)/(1+cosx)で部分積分したり、1/{(1+cosx)^n} - cosx/{(1+cosx)^n}=I_n - cosx/{(1+cosx)^n}で二項目の積分を考えたりしたのだが上手くいかない

どうアプローチをかけたらいいのだろうか？

ちなみに、解答は
I_(n)={1/(2n-1)}[sinx/{(1+cosx)^n}+(n-1)I_(n-1)]
です

gößt

考えている問題のレベルやコメントぶりからしてある程度つよつよの人と認識しているのですが…？
もし本当に苦手だったらもう少し丁寧に説明しますので言ってください

このように変形します↓
　 1-cosx　　 2-(1+cosx)　
—————＝—————–＝2I_n－I_(n-1)
　(1+cosx)ⁿ　　(1+cosx)ⁿ

よわよわ

素晴らしいです
その考え方はなかった...

問題は確かに低くないレベルだけど、実は26日から解いてるからたった一問に2日もかけてることになるんですよ...
しかも解けたって言っても最後は教えてもらってるから自分としてはよわよわですね...なさけねぇ

gößt

まあ数学は長時間考えるものですから

解決してよかったです(｀・ω・´)

よわよわ

(交友関係がせませますぎて)
こういうこと聞ける人いないんでほんと助かりました

また機会があればよろしゅうたのんます...

gößt

答えられる質問なら答えますね