数学
高校生
解決済み
この問題のやりかたを教えて欲しいです🙇♂️
多項式P(x) をx-2で割ると3余り, x+3で割ると-7 余る。 P(x) を (x-2)(x+3) で割ったときの余りを求めよ。
回答
回答
教科書にもある典型問題だと思います
それらの解説のどこがわからないか、
ピンポイントに聞いてもらえるとありがたいのですが…
教科書学校にわすれちゃって、、
どのようにこれを解くのかがよく分からなくて、曖昧な表現ですみません🙇♂️
剰余の定理から、
P(x)をx-2で割った余りはP(2)です
（x-2=0の解、x=2をP(x)に代入する）
与えられた条件（P(x)をx-2で割った余りは3）から、
P(2)=3 ……①
です
同様にして、P(-3)=-7 ……② です
式の割り算における「余り」の定義から、
2次式(x-2)(x+3)で割った余りは、
1次以下とすることになっています
よって、このときの余りをax+bとおきます
このときの商をQ(x)とおくと、
「割られる式 = 割る式×商 +余り」
という関係が成り立つので、
P(x) = (x-2)(x+3) Q(x) +ax+b ……☆
と表せます
a,bを求めることができれば、このax+bが答えです
ここで、①P(2)=3、②P(-3)=-7を使います
☆にx=2を代入すると、
P(2) = (2-2)(2+3) Q(2) +2a+b
= 2a+b ←0×5×Q(2)は消える
で、これを①に代入すると
2a+b = 3 ……④
同様にして
P(-3) = (-3-2)(-3+3) Q(-3) -3a+b
より
-3a+b = -7 ……⑤
④⑤を解いて、a=2, b=-1
よって、求める余りは2x-1です
ありがとうございます🙇♂️助かりました！！
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