三角関数の積分は
偶数乗→cosの半角の公式を使う
奇数乗→偶数乗と1乗に分解して、置換積分をする。
例えばsin³x の積分はsin²xsinxに分解します。
t=cosxとおくと
dt=-sinxdxとなり置換ができます。
なぜcosxでおくかというと
今回の積分は∫sin²x(-cosx)'dxと言う形で見ることが出来、tを微分すれば式中のsinxとdxがまとめて出てきてくれるので置換が上手くいくということです。
sinの奇数乗→t=cosx
cosの奇数乗→t=sinxとおけば置換が上手く行きます。
Q1は
sinxdxがあり他はcosxの関数と見ることが出来るので、cosx=tと置いたら積分しやすいと判断が着きます。
Q2は
cos^3 x=(1-sin^2 x)cosxと考えると
cosxdxが出てきて、他はsinxの関数と見ることが出来るので、sinx=tと置けば良いと判断がつきます。
そういう考えでOKです。
他にも、{cos(logx)}/x の積分を考える際には
dx/x=(logx)'dxがあるので、logx=tと置けば良いと分かります。
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原理としては
-sinxdx=d(cosx),
cosxdx=d(sinx)
と考えて良いからですね。