✨ ベストアンサー ✨
スペースの関係上だいぶ省略して書いています。
1枚目の後半からから2枚目の前半まではただの三項間漸化式を解いてるだけなので、重要なのは1枚目の半分くらいまでと2枚目の最後の所です。
惜しかったですね。
今回は=で繋ぐと邪魔な定数が消えて全てa[n]の項だけになるので何か出来そうと考えられますね。
しかし、二乗や積の形があり少しトリッキーなので
諦めたくなりますが、とりあえずlogをとったり、両辺移行したり、共通項をまとめてみたりしてガチャガチャやってると、今回のように非常に似た形が両辺に表れ、更に両辺をa[n+2]a[n+1]で割れば完全な漸化式ができ、めでたしめでたしですね。
と言いたいのですが、今回地味に厄介なのは個人的にa[n]≠0の論述かなと思います。自分もこの証明にかなり時間をとられてしまいました(7割くらい)。
普通ならa[n]≠0を仮定すればだいたい矛盾が生じますが、今回のような三項間だとなかなかうまくいきませねぇ。なので、自分も普通に勉強になりました。
長々と失礼しました。🙇
すみません。なぜ、このように考えるのか、という点については、論理的な説明ができません。
以前、2014年の東京大学の理系数学第4問にて、ほぼ同じ形の数列が出題されていたのをたまたま知っていて、その時の誘導から式変形をしています。
2枚目の最後を見て分かる通り、最終的には、一般的な隣接3項間漸化式に落ち着きます。
東京大学での出題でも、きちんとした誘導がついているので、おそらく入試問題等、高校生の段階では一発に解ける必要はないのではないでしょうか。
あの東工大でも、これはなかなか出せないと思います。
そのため、余力があったら対策として覚えておくくらいでいいと思います。
失礼いたしました。
2014年ではなく、2015年の問題です。
すみません。1行目の1番下は1ではなく、5です。失礼しました。
返信遅れてしまいすいません。
東京大学でも類題が出題されていたとは知りませんでした。できる人たちからすれば、このような変形も自然なものなんでしょうか。どうしてこんな変形なのかもとても気になりますね…。
まあそれはともかく、回答してくださってありがとうございました。
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返信遅れてしまいすいません。
ずらしてイコールで結ぶところまでは考えられたのですが、そこからあと一歩が届きませんでした…。
1日考えてもできなかったので本当に助かります。ありがとうございました。