Question

はん

この証明方法どなたか教えてください、、

それ等し
3の恒等式に関する定理
一般に, P,Qxについてのn次以下の多項式であるとき, 等式P=Qがn+1個の
異なるxの値に対して成り立つならば,この等式はxについての恒等式である。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

その近くに証明が載っていませんか？
略証なり、2次とか簡単な場合なりが…

和

一応書きました
もう少し先にある、因数定理を使っています
習っていなければ、習うまで保留してください

P(x)、Q(x)をn次の多項式とします
　P(a1)=Q(a1), P(a2)=Q(a2),
　　　　　……, P(aₙ₊₁)=Q(aₙ₊₁)…☆
が成り立つとします

P(x)-Q(x)を新たにR(x)と書くことにすると、☆は
　R(a1)=0, R(a2)=0, ……, R(aₙ₊₁)=0……☆☆
と直せます
なお、P(x),Q(x)はn次なので、R(x)はn次以下です
示すべきことは「R(x)=0が恒等式である」です

R(a1)=0のとき、因数定理から、
R(x)はx-a1を因数にもちます
つまりR(x) = (x-a1)( 多項式 )と表せます

同様に、☆☆よりR(x)は
　x-a1, x-a2, ……, x-aₙ₊₁
を因数にもつので
　R(x) = (x-a1)(x-a2)×……×(x-aₙ₊₁)( 多項式 )
と表せます

R(x)はn次以下のはずですが、
上式の右辺は、最後の( 多項式 )が
1とか2とかの定数だとしても、
n+1次になってしまいます
これを解決するには、
「最後の( 多項式 )が0になる」しか道はありません

したがって、R(x)=0です
以上の話はxによらないので
「xによらず」R(x)=0です
つまり、R(x)=0は恒等的に成り立ちます

はん

２次の場合は載っていたのですが、一般的な証明は載っていなかったので、、ありがとうございます。