Question

炭子

《急ぎ》整数問題です！
至急お願いします！

次の問いに答えよ。

(G) %Co + Cu+ …+ mwCe = 28(1+8+ 8?7+す…+8")+ 4であることを示せ。

(⑫) ぁみ ヶは1ミァヶミァヵを満たす整数とする。このときヶ・,Cz ニタ・ヵ1C/-ュが成り立つ
ことを示せ。

(3) ぁを1以上 48 以下の整数とするとき, sC, は 7 で割り切れることを示せ。

4) ・sC を 7 で割った余りを求めよ。

数学

Answer 1

访客

(1)98C0+98C1+-+98C98=2^98
28(1+8^2+8^3+…+8^31)+4=28Σ[k=0,31]8^k+4
=2^98
より示した
(2)r・nCr=rn!/(n-r)!r!=n!/(n-r)!(r-1)!
r・(n-1)C(r-1)!=n・(n-1)!/(r-1)！(n-r)!=n!/(n-r)!r!
より示した
(3)98Ck(kは1≦k≦48を満たす自然数)=98!/(98-k)!k!
ここで[98/7]+[98/7^2]=16より
98!を素因数分解した時の7の指数は16
また、1≦k≦6,7≦k≦13,14≦k≦20,21≦k≦34,35≦k≦41,41≦k≦48において(98-k)!k!を素因数分解した時の7の指数は16より小さいから 98Ckは7で割り切れる。
(4)
2^98
=98C0+98C1+…+98C49+98C50+…+98C97+98C98
=(98C0+98C1+…+98C48)+98C49
+(98C48+98C47+…+98C0)
=2(98C0+98C1+…+98C48)+98C49
ここで(3)より(98C1+98C1+…+98C48)は7で割り切れる

98C49+2≡2^98≡4(mod7)より98C49≡2(mod7)
より98C49を7で割ったあまりは2
(3)は後半飛ばしました

访客

訂正です
(2)は
r・(n-1)C(r-1)!=n・(n-1)!/(r-1)！(n-r)!=n!/(n-r)!r!
ではなく
r・(n-1)C(r-1)!=n・(n-1)!/(r-1)！(n-r)!=n!/(n-r)!(r-1)!
です