複素数の指数関数は多価なので、整数乗の特別な場合でしかドモアブルの定理は成り立ちません
反例を上げるなら
(cos(π/2)+isin(π/2))^(1/2)
これは、普通に計算すると√iになります
√i=a+biとしてa,bを求めます
両辺を2乗するとi=(a^2+b^2)+2abi
実部虚部を比較すると
a^2+b^2=0
2ab=1
これを満たす(a,b)は(1/√2,1/√2),(-1/√2,-1/√2)の2組です
よって、√iは1/√2+i/√2と-1/√2-i/√2の２つです
このように、複素数の有理数乗は値を２つ以上取ってしまいます。この性質を多価(例では2価)といいます
一方
ドモアブルのように計算すると
cos(π/4)+isin(π/4)=1/√2+i/√2
となり、√iの片方しか取ってくれず、完全に=にはなりません
すみません
真ん中の両辺2乗するところの実部はa^2-b^2でした