an+1=pan+qっていう1次型の方程式がが直線の1次関数っていうイメージを持てば簡単に特性方程式を理解することができます。
y=px+qのxにx=a1を代入すると、y=a2が得られ、a2を代入すると、a3が得られ…って具合に次々と値が得られて求められます。
さて、一次関数y=px+q(q≠1)においてy=pxのグラフをx軸方向とy軸方向に同じだけ平行移動させてみれば、y=px+qに一致するという性質があって、どう平行移動させたらいいのかっていうのを考えた時に、y=px +qとy=xの交点をa(c,c)とすれば、この点aが原点Oと一致するために平行移動させると、y=px +qはy+pxに一致する。
逆も同様に、y=pxをx軸方向にc,y軸方向にcだけ平行移動させれば、y=px +qに一致することが成り立つ。
以上より、
y=px +qと、y=pxを平行移動させたグラフのy-c=p(x-c)とが一致することから、y=xとy=px+qの交点のx座標がcであれば、このcを利用してあげてy=pxをy=px+qに移動させてあげられるという事実が確認できる。
故にこの事実を利用して、
漸化式a_n+1=pa_n+qはa_n+1-c=p(a_n-c)へと変換でき、この点cは２つの直線y=xとy=px+qの交点のx座標であって、c=pc+qの解である。つまりは、a_n+1=pa_n+qのanの部分をcと置いてあげれば、特性方程式が得られるって寸法。
実際にグラフ書いてみて確認してみるといいかも。
だから、漸化式の問題ではan+1-cの部分が複雑化しても係数pのカッコの中身はan+1-cの部分と同じ形じゃないといけないってことがわかるよね。
これが漸化式の本質。
わかりました
もう一回確認しておきますね
理解出来ました！
ありがとうございます
よかったです👏。私も高校時代同じように特性方程式について悩んで、学校の先生に質問しましたが暗記しろ！って言われて解決せず、自分で色々研究しましたねえ…。。。なので、こんな風に説明出来るのですがw
結局cは私のノートにある通り、均衡値(balance value)だってことまで理解してしまえば、簡単に漸化式をどんなタイプでも解くことができようになると思います。時間があれば、3項間漸化式とか色々やってみても面白いかと思います。
そうですよね
いろいろな人に聞いたんですけどよくわからなくて
本質的に理解した方が絶対にいいと思ったので
いろいろと調べました
まずは漸化式の問題を完璧にしてから3項間漸化式の問題を解くつもりです
私のノートの数列の12/15の問題4とあるページも参考にしてください。理解が深まると思います。