今回は整式における定理や定石を書いていこうと思います。
整式の重要定理:割り算の原理,剰余の定理,因数定理
整式P(x)を
P(x)の次数より小さい次数の整式A(x)で割ったとき、
P(x)=A(x)Q(x)+R(x)
なる整式Q(x),R(x)が唯一存在する。
また、A(x)が一次式のとき、
A(x)=(x-a)とすると
P(x)=(x-a)Q(x)+R
となる。ここで、P(a)=Rであるから、
一般にP(x)を(x-a)で割った余りはP(a)である。
さらにここから、
P(a)=0⇔(x-a)|P(x) ←(x-a)はP(x)を割り切るの意
が成り立つ。
整式の定石:多項式のテイラー展開,2次式の割り算
①多項式のテイラー展開
P(x)を(x-a)で括って
P(x)=(x-a)^n+b(x-a)^(n-1)+…
のように表現する事を多項式のテイラー展開という。
②2次式の割り算
(x-a)(x-b)がP(x)を割り切るとき
i)a≠b→(x-a)(x-b)|P(x)⇔(x-a)|P(x) かつ (x-b)|P(x)
ii)a=b→P(a)=P'(a)=0
＊aとbが文字の場合は場合分けする事
よく出る関数
①相反方程式
ax^4+bx^3+cx^2+bx+a=0
ax^3+bx^2+bx+a=0
のように、係数が左右対称になっている式を相反方程式という。
相反方程式は
i)次数が偶数→両辺をx^2で割り(x≠0を示す事)、
t=x+1/xとおいて、tの方程式として解く。
ii)次数が奇数→(x+1)で割り切れ、その商はt=x+1/xの
方程式として表せる。
相反方程式は性質として
(x-a)で割り切れる⇔(x-a)(x-1/a)で割り切れる
②複二次方程式
ax^4+bx^2+c=0
のように、x^(奇数)の項がないものを複二次方程式
という。これらはX=x^2とするとよい。
恐らく総ざらいしたと思いますが、質問等あればお気軽にどうぞ
なるほど。勉強する時に使っていきたいと思います。ありがとうございます☺️