Question

むにゅたん

(1)の問題で、なぜ2p,2p-1 となるのかがわかりませんでした。解き方を、理由含めて教えてもらえると嬉しいです。

例題 58
(2) 12299500 Gas
ピタゴラス数の証明 ★★★☆
(1) αを自然数とするとき, αを4で割ったときの余りは0か1であるこ
とを示せ
(2)1,m,nを自然数とする。 +mmならば,L,mのうち少なくと
も1つは2の倍数であることを証明せよ。
結論 向
RoAction 余りに関する証明は、余りによる分類 (剰余類)を利用せよ 例題56
(2)条件の言い換え
(ア)だけが2の倍数
1(d)
問題編 5
46
☆☆☆☆
47
★☆☆☆
次の
(1)
(2)
次①②
思考プロセス
「結論」
Actiser P
( だけが2の倍数
(ウ), ともに2の倍数
3つの場合があり《Goit
証明しにくい
Action» 「少なくとも~」の証明は,背理法を利用せよ
解 (1) 自然数αは2で割った余りに着目すると, 2p 2p-1
56
(自然)のいずれかで表すことができる。
(ア) α = 2p のとき
a2= (2D)2=4p2
は自然数であるから, は整数である。(1
よって, d' を4で割った余りは0である。
4で割ったときの余りで
分類してもよいが, 2で
割ったときの余りで場合
分けして考えても うま
4でくることができ
る。
(イ)a=2p-1 のとき
a² = (2p-1)² = 4(p² − p) +1
は自然数であるから,
は整数である。(=
よって, d を4で割った余りは1である。
(ア)(イ)より, d を4で割ったときの余りは0か1である。
(2) l, mがともに2の倍数でないと仮定すると
e) = M
48
☆★☆☆
49
★★

Answer 1

和

どこまで理解しているのかが書いていないので
どのレベルでつまずいているかわからず、
説明しにくいです

書いてあるような「余りで分類する」という手法は
教科書にもある基本事項です

aを何かで割った余りによって、aを分類することは、
a²を4で割った余りを求めることに活かせます

aを4で割った余りで4通りに分類するのが素直ですが、
2乗する過程を踏まえると、書いてある通り
aを2で割った余りで分類することができるというのが
この問題で学ぶべき工夫です

aを2で割った余りは0か1ですが、これによって
aは2つに分けられます
pを整数として、a=2p(+0)かa=2p+1です
割られる数=割る数×商+余りの関係からもわかります

ただし、ここではaが自然数であることから、
pを自然数としてa=2p, a=2p-1とおくと、
すべての自然数を網羅できるので、この方がいいです