Question

むにゅたん

(2)の問題で、なぜこのようにnを3で割ったときの場合分けをするのか、分かりませんでした。解き方の理由を含めて教えてください。

解
思考プロセス
例題 57 倍数であることの証明
nが整数であるとき, 次のことを証明せよ。
(1)nnは6の倍数である。
逆向きに考える
6 の倍数であることを示すためには?
(2)
(a) 6 × (
の形になる
この
とするか?
(2)23+3m²+nは6の倍数であるこ
(b) 連続する3つの整数の積である
(C)「2の倍数」 かつ 「3の倍数」 である
moin
201
(D)
いずれかを示す。
Action» 連続する 個の整数の積は, m! の倍数であることを利用せよ
(1)n-n=n(n-1)=(n-1)n(n+1)
(n-1)n(n+1)は連続する3つの整数の積であり,この
3つの整数の中には、2の倍数, 3の倍数がそれぞれ少な
<くとも1つ含まれるから 6の倍数である。
よって、n-nは6の倍数である。
(2) N = 2n+3n2+n とおくと
N = n(2n²+3n+1)=n(n+1)(2n+1)
(
与えられた式3-nを因
A
数分解する。
一般に、連続する”個の
一般に, 連続する個の
整数の積はm! の倍数と
なる。
2
==
n(n+1) は連続する2つの整数の積であり,n, n+1の
いずれかは2の倍数であるから, Nも2の倍数である。
例題
次に
56
(ア)n=3k(kは整数) のとき
N = 3k(3k+1)(6k+1)
(イ)n = 3 +1(kは整数)のとき
I+(4-8)
N=(3k+1)(3k+2)6k+3)=3(3k+1)(3k+2) (2k+1
(ウ) n=3k+2 (kは整数) のとき
N=(3k+2) (3k+3)(6k+5)=3(3k+2)(k+1)(6k+5)
んは整数であるから、(ア)~(ウ)のいずれの場合も N は3
の倍数となる。
したがって, 2n+3n+nは6の倍数である。
nを3で割ったときの余
りで場合分けして考える。
一類す
こと

命題と論証

Answer 1

和

(1)のように式変形だけで解決するなら、
そのようにすればOKです

もし式変形がうまくできないようであれば、
余りで分類するのがひとつの手です

2の倍数であることは証明済みなので、
6の倍数であることを示すには、
あと3の倍数であることを示せばよいです
そこで、nを、3で割った余りによって
3つに分類することになります

nの式f(n)を3で割った余りを知るには、
nを3で割った余りで、nを分類するのが効果的である旨は、
教科書でも語られていることかと思います