Question

絶対合格

①線で引いた所がp62に書いてないんですけど、書かなかったら減点ですか？
なんで書くんですか？理由を教えてください
②60と22の公約数であっても、なぜgは1または2なのですか？

問題5-7
和が22, 最小公倍数が60となる2つの自然数を求めよ。
(東京電機大)
この
方針
これもの
これも p.62 の公式2を利用します。
求める 2数を a, b (a ≧ b),g = G(a,b) とおくと,
Ja = a1g
(α と 61 は互いに素な整数)
[b=big
と表せ, 最小公倍数が 60 なので
a1big = 60
また, 2数の和が22なので
･･①この式よりは60の約数と読みとれます
(一般に, G(a, b) は L(a, b) の約数です)
a + b = 22
aig + big = 22
(a + big = 22.②←この式より、9は22の約数と読みとれます
①,②より、
gは6022の公約数ということは最大公約数2(=G(60, 22)) の約数
なので, gは1または2です。 あとは場合分けして処理します。

Futs
くてよい
12
も
問題 5-7 の解答
求める2数を a,b (a ≧b)とし,g= G(a, b) とおく。
このとき
Ja=
= a19
(a, b, は互いに素な整数)p.62 の公式2
1b=big
と表せる α ともの最小公倍数が60であるから,
aibig = 60
←p.62 の公式 2
また α との和が22であるから,
a + b = 22
ag + big = 22
∴ (a1+bi)g = 22 ... ②
①より」は60の約数,
②よりgは22の約数,
よっては60 と22の公約数
①②より,g は 60と22の公約数であるから,gは1または2のいずれ
かである。
(1)g=1のとき
機大)
このとき,
= 60
Jaib₁ =
...①
la1+ b1 = 22 ②
これを満たす整数 α1, 61 は存在しな
す
いので,この場合は不適。
(ii)g=2のとき
このとき
a1
b1
偶
偶
aibi
a+b1
偶奇奇偶
1偶偶偶奇
偶奇偶奇
奇 偶
奇
上の表より, abi, a + b1 が偶
数となるのは α 61 がともに
偶数のときしかありません。 こ
れはα と が互いに素である
ことに反します。
Jab=30
la + b1 = 11
これより,
←積が30で和が11なのでα1, 6, 65とわかる
(a1,61) = (6,5)←a≧b より≧b
以上, (i), (i)より求める2数は
12と10←a=2a,b=2bi

◎最大公約数と最小公倍数の表現2
2つの自然数a,bに対し,g=(a,b), 1=L (a, b) とするとき,次が
濡れ
成り立ちます。
最大公約数と最小公倍数を表現する公式2
aeig
はα, 素因数分解における共通部分で
big
(a), は互いに素な整数)
最大のものなので
とは互いに素となる
=abig
1 Crus/2
36 = 2 ×2 × 3 × 3
b1
例 1
54 = 2
× 3 × 3×3
このように
表現できる
g
036= 2.18
54 = 3.18
l = 2.3.18
48 = 412
a1
48 = 2 × 2×2×2×3
180=15・12
例 2
180 = 2 × 2
× 3 × 3 × 5
このように
l=4.15.12
b1
表現できる
これを使うと、次の有名公式が成り立つこともわかります。
公式 (最大公約数と最小公倍数の関係)
1= L(a, b),g= G(a, b) とすると,
lg = ab← (最小公倍数)×(最大公約数)=(2数の積)
(証明)
上の記号を用いると,
flg=abgXg=abig?
lab=agxbg=abig2
よって,
lg = ab
整数 (標準) 編

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

「線で引いた所」は1枚めの「求める2数を〜」ですか？

「p62」がどこを指すのかわかりませんが、
2枚目のことでしょうか？
だとしたら、2枚目の2行目に書いてあります

書かないとa,b,gがなんなのかわからないので、
ふつうは減点されると思います

g = (60と22の正の公約数)が
1と2というのはわかるのですね？
だとすれば、gは1か2というのは、そのまんまです

全体として、質問における説明が足りません…

絶対合格

すみません、p62が３枚目でした。
はい、線で引いた所は、１枚目の求める2数をの所です。

和

3枚目なら、a,b,gの説明自体は2行目にあります
a,bの大小関係は、そこでの話には関係がないので、
なくても構いません

1,2枚目は問題を解く都合上、
a≧bに限定した方が簡単（a,bを入れ替えた組を
書く必要がなくなる）なので、そうしています