Question

ももたん

どうして青下線部では因数分解を行っているのでしょうか？？
そして因数分解は普通に高次方程式の因数定理？を使えば良いのでしょうか？？
どなたか分かる方教えてください！！🙇‍♀️

040
基本34-1 曲線上にない点から引いた接線
f(x)=x3 とする。 曲線 y=f(x) の接線のうち, 点 (1, -4) を通るものを求めよ。

基本 34-1 f(x)=x3 から f'(x) =3x2
接点の座標を (t, t) とおくと, 接線の方程式は
y-t³=3t² (x-t)
すなわち y=3t2x-2t3
これが点 (1,-4) を通るとき 4=3t2-2t3
すなわち 2t3 - 3t2-4 = 0
(t-2)(2t2+t+2) = 0.
\2 15
) >O
ここで 21°+1+2=2(t+12 +1/80
よってt=2
したがって, 求める接線の方程式は
y=12x-16

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

HH

2t^3-3t^2-4=0を満たすtの値を求める段階ですね。
ここで、かけ算では0をかければ積は必ず0になる、というルールを使います。そのために、2t^3-3t^2-4=0を因数分解するのです。
そうすると、(t-2)(2t^2+t+2)=0の形にしてしまえば、t-2,又は2t^2+t+2が0になればいい、という訳です。

分からない所あれば、また質問してくださいm(_ _)m

ももたん

その下で平方完成を行っているのは何をやっているのでしょうか？？
理解が及ばず申し訳ありません🥲

HH

僕の返信の「t-2,又は2t^2+t+2が0になればいい」という部分から説明続けますね！

まず、t-2=0を満たすtの値はt=2です。

次に、2t^2+t+2=0を満たすtの値は…すぐには分からないですね。そもそも、2t^2+t+2=0となるかどうかも分かりません。
そこで、平方完成の登場です。平方完成の利点は「2乗が出てくる」ことです。（実数は）どんな数でも2乗すれば必ず0以上になります。これを意識すると、今回だと、2(t+1/4)^2+15/8となっていて2(t+1/4)^2は必ず0以上です。15/8>0より、2(t+1/4)^2+15/8>0となります。（ー①）
したがって①より、
2t^2+t+2 =2(t+1/4)^2+15/8>0
となります。

「平方完成を行っているのは何をしてるのか」に答えるとするならば、「2t^2+t+2=0が成立するかを確かめている」という所でしょうか。

長文失礼しました。分からない所あれば、いくらでも質問してくださいm(_ _)m

ももたん

本当にありがとうございます！！
すごく分かりやすいです！！！🌻