数学
高校生
解決済み

慶應2024の数学証明の添削お願いしたいです
(2)と、(4)になります。
(4)は自分でもしっかり議論できてないなと思ってるのですが、どのような評価を受けそうか知りたいです。
(2)も模範解答とは違ったので添削していただきたいです
お願いします

3 連続関数f(z) はf(x)>0を満たし, 1≦x≦で単調に減少するものとする。 αを実数としSを と定める。 S= = (³ |f(x) - - ax) dx (1) I = = f(x) dc と定める. I と a を用いてSを表すと,afe3のときS=〈クとなり、 f(1)S= af (1) のとき S=(ク) となる, (2)αが f(3) <a<f(1) を満たしているとき、1<<3の範囲で方程式 f(x)-ax=0は解をた だ1つ持つことを証明しなさい。 (3) a l± f(3) 3 <a<f(1)を満たしているとする.1 <x<3の範囲にある方程式 f(x)αz=0 の 解をtとおく。このとき, αを関数f(x)と実数tを用いて表すとα(ケ) となる.また, 関 数F(x)=f(s) ds と, tに関する分数式g(t)=(コ)を用いて,S=2F(t)-F(3) + g(t)f(t) とされる。 (4) F(x) を (3) で定めた関数, to を1<to <3を満たす実数とする. 1≦x≦3を満たすすべての実 数æに対しF(z)-F(to)(x-to)f(x)が成り立つことを証明しなさい。
(2) f(s) ca <f(1) aut, lekeze 3 f(x)は10の解もの y=ax) y=axとする 題意より)は、13で単調に 減少していて、y=axは、原点を通る直線で ある。右図のようになる f(リー 直線が(3f(3))を通るときや y=f(3)&(1,f(リ)を通るとき J = f(1) x よって、右図から、caf(リであれば 3 3 y=f(x)とy=axは1x3の範囲に 交点を1つもつ。したがって、fax=0は 解をいつもつ。
T (4) F(x)-F(to)=f(2) x-to ARM F(x)は、1枚とうにおいて連続であり、 微分可能である toをしくもくろとすると S - ○F(水)F(to) f(c)となるCが x-toi xcctoに存在する F'(c)=f(c)また、f(x)は、13で単調 減少なので、f(x)<f(c) よって、①より、 F(x)-F(to)=f(c)=f(x) x-to したがって、F(x)-F(to)ミ(スーto) f(x) D

回答

✨ ベストアンサー ✨

⑵は中間値の定理を使うと思いますが、画像の回答で間違ってるわけではないです。ただ問題文の単調減少というのがy=定数の形も含んでるということ(広義単調減少a<b→f(a)≧f(b)イコールも入る)も気をつけなけらばなりません。(今回の場合は上記の回答で問題ない)あと、図に軸の名前と原点を書いたほうがよいです!
⑷は流れとして大体良いのですが、
①1<x<3で微分可能であり、(端点での微分は考えなく、t_0の範囲からもわかる)連続は=が入ってて問題ないです。
②x<c<t_0ではなく、t_0<c<x
③ここで、⑵で述べた不等号に=が入るところが効いてきており、f(x)≦f(c)となります。
最後に、x=t_0の場合を別途考えなければなりません。(x-t_0で割るという操作ができないため)
代入したら0=0を得るのですぐですが…
大体こんなこんな感じです。全体の流れとしてはいい感じですよ!

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