数学
高校生
解決済み

解答の右側のページの下から2行目と解答の右側のページの上から10行目の切り口の式でzの範囲が定義されてるのですが、x,yの範囲を求めなくてもいいのは何故ですか?

例題 39 |★★★ 35分 x,y,z を座標とする空間において, xz 平面内の曲線 z = log(1+x) (0≦x≦1) を軸のまわりに1回転させるとき,この曲線が通過した部分より なる図形をSとする このSをさらに軸のまわりに1回転させる とき,Sが通過した部分よりなる立体をVとする。このとき,Vの 体積を求めよ。 (京大理系・20)
最大となるのは z= log2 のときでQ=QL 最小となるのは z=√log(1 + u) のときで, Q = Q でしたから、図6のようになります。 Q は2点あり ます。 のような「同心円ではさまれた部分」とい うことになります。 面積は この曲線を平面 z=uで, O” を中心に1回転したもの が切り口になりますので、 図7の網掛部 Vlog 2 注意して, Q (e²²-1) u² e²² - 1≥u 図6のように、 S は xz 平面, yz 平面に関して対称であるから, ②x=u (0≦u≦1) とすると, w+ye = (ez2-1)2 ..y2=(e22-1)2-w このような実数y が存在する条件は,z≧0,u≧0に ではこの 式のままOQの距 離を考えましたが、 y=(zの式)に直せる ので、解答はそちら でやってみました。 :.ez2u+1 Q₁ JQ, O"QO"Q22 vlog(1+u) 0" ですよね。 y 点でも曲線でも三角形や四角形でも、あ る点を中心に回せば円ができます。 という における切り口は, 曲線 y=±√(ez-1) 2-ue (log (1+u)≦z≦log2) である。 .. 22 ≥ log (u+1) このときである。 よって, Sの平面x=u (0≦x≦1) zlog (+1) そのかわり、 この範囲を式 で説明しました。 ・③ ことで 図7 回してから切るな, 切ってから回せ (しつこい) でした。 立体V を平面 x = u (0≦u≦1) で切った切り口は, 点 O" (u, 0, 0) のまわりに曲線 ③を1回転したもの であり,y=√(ez-1) -u は Vlog (1) log2 において 0 以上 Y 実行 で,単調増加するから, 右の図の網掛部 のようになる。 図のように点A,Bをお きこの面積をT (u) とおくと, 1-u² /log(1+u) z= log(1+z) (0≦x≦1) ......① は単調に増加し, 24 T(u)=O"A'-O"B2 =√log(1+2) 2=t (0≤t≤√log2) Vlog 2 とすると, t = log(1+α) .ef=1+x t2=log(1+x) =z{(1-u²)+log2}-zlog (1+u) =z{(1+log2) - u-log(1+u)} したがって, yz 平面に関する対称性に注意 して求めるVの体積は, Vlog 2 -u y=(zの式)ですので →X ..x=-1 のときとは逆に である。 よって、図形Sを 2' T(u)du 軸を横軸にしました。 平面zt(≧≦log2)で切ったときの切り口は, ただし,t=0のとき) =2π 点 O'(0,0,t) を中心とする半径1の円 (0,0,0) であり,この円の方程式は, =2x (1- x+y=(-1) かつ z=t (0≦tlog2) である。 したがって,Sの方程式は, 2+y2=(ez2-1) (0≦zlog2) {{(1+log2)_u_log(1+u)}du + log2)² - (1+)log (1+)+"] =2π (1+log2)u- =2(1+log2) 2)- 2+1} 1 -2log2+ 3 である。 5 =2m ( 1-10g2) 3

回答

✨ ベストアンサー ✨

少なくともzの範囲がわかれば十分だからですかね
②はzが決まればx,yも自ずと決まります
③はzが決まればyも自ずと決まります

たとえばy=3x (1≦x≦2)でわざわざ
yの範囲も書いたりはしないような感じですかね…

みかん

回答ありがとうございます、ひとつ聞きたいのですが、③においてzに対応するyの範囲よりyの範囲が狭いということは起こらないのでしょうか?それとも、y,zの範囲両方調べて、結局同じだということを確認する必要があるのでしょうか?

yの範囲がzに「対応する」のに、yの範囲がそれより狭い
というのは自己矛盾です
zに対してyの範囲が決まるということは
文字通りyがその範囲の値をくまなくとるということです

みかん

分かりました、では②において、zに対してx,yの範囲が決まるということで合ってますか……?また、zに対してx,yの範囲が決まるというのがわかるのはなぜですか?

そうですね
実際②でzがある値になれば、xy平面上に照らして図形が
(ここでは円が)できるわけで、自ずとx,yの範囲は決まります

みかん

なるほど!図形から確認するのですね、納得しました!ありがとうございました!

この回答にコメントする
疑問は解決しましたか?