Question

ソラ

数IIです！
写真のピンクで囲ってあるところがよくわかりません。どうしてそういえるのか教えていただきたいです。よろしくお願いします。

343 [3次方程式の実数解の個数] まとめ 155
3 思考のプロセス
条件の言い換え
3次方程式 f(x) = 0 が
ただ1つの実数解をもつ
図で考える
←
3次関数のグラフの概形は･･･
N
3次関数 y=f(x) のグラフが
x軸とただ1つの共有点をもつ
題意を満たすのは
どのような場合か?
EX
満たすときのx軸と
極値の関係を式で表す。
3次方程式
極値なし
極値あり
ax + α = 0 がただ1つの実数解をもつ。
⇔3次関数f(x)=x-ax+αのグラフがx軸とただ1つの共有点をもつ。
であるから, 3次関数 f(x)=x-ax +α のグラフを考える。
f'(x) = 3x2-a
より, 次の場合に分けて考える。
(i) a ≦ 0 のとき
ao より
f'(x) = 3x²-a≧0
このとき3次関数 f(x) は常に増加するから, x軸とただ1つの共有点をもつ。
したがって, a≦0 は適する。sy
(ii) α > 0 のとき
a > 0 より f'(x) = 0 となるxの値は
3x²-α = 0 より x=±
a
43る
よって, 増減表は次のようになる。
X
...
V3
03
a
...
V3
83
a
|f'(x) +
0
0 +
f(x)
極大
極小
または
このグラフがx軸とただ1つの共有点をもつためには
▽極大値と極小値が同符号であればよい。
これより,f(V1)^(-11号)>
> 0 となるαの値の範囲を求める。(I-)
ここで
a
a
a
=
a
+α
3 V 3
3
||
2
3
a
a
3
+α
よって
a
a
a
a
+α
+α
3
3
3
3
a
+α
3
このとき
になるか
120

導関数 微分

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

きらうる

写真の場所が同符号であると、x軸との交点が1つしかなくなります。
もし異符号なら、x軸との交点が3点になります。

ソラ

なるほどです!モヤモヤが晴れました。ありがとうございます、理解できました！

Answer 2

るるんぴ

次数3の数の係数が正なのでグラフの概形がこの様になることは明白です。
x軸に交わる点を1点のみとしたい時上記の条件を満たしたグラフは写真にある通り2通りです。そのグラフを見れば極値はどちらも同符号となることが分かります。

ソラ

わかりました、ありがとうございます！

Answer 3

和

図をイメージしたり描いてみれば
わかるかと思います

いきなり思いつくことは難しいですが、
知ってしまえばワンパターンかと思います
よくある言い換えです

ソラ

この表現は初めましてでした､｡次出てきた時にすぐ反応できるように、訓練します‼︎