95-4+18
第3問 (必答問題) (配点 28)
2
y
=++N
y-
もは
x,yを実数として、①の2つの不等式, およびx≧0, y≧0 からなる連立不等
式の表す領域をDとする。
こで,x,y
式 ③、④.
る連立不等
部分(埃
た、直線
y=-3x
[1] あるサプリメントには, 1包が1g入りで10円の顆粒 1錠が0.2gで30円の錠
剤の二つのタイプがある。
N=ア x+yの表す直線をlとすると
このことから,x,yが①を
れは傾き
含まれる栄養成分は, 顆粒では1包に0.3g, 錠剤では1錠に0.1gであり, 残り
の成分はすべて添加物である。
満たす0以上の実数のとき,Nはx=y=
コ
で最大値 サシをとることがわ
18
かる。
このサプリメントを二つのタイプの価格の合計が180円以下,かつ,含まれる添
加物の合計が3.6g以下となるように使用し、含まれる栄養成分の合計を 0.1×N(g)
とするときの最大値を求めよう。
3
顆粒をx包, 錠剤をy錠使用する場合, N= x+y であり,価格,添加物
の合計の条件は3
x+
イ
である。
X+24=(F
8
y≤ ウエ かつ オ x+y カキ
大学Ⅱ, 数学 B 数学C第3問は次ページに続く。)
ク
| については,最も適当なものを,次の①~③のうちから一つ選べ。
⑩ ①を満たす0以上の実数x, yで,N= アx+yとなるものが存在する
ことと, 直線ℓが領域Dと共有点をもつことは同値である。 よってNの
最大値は,直線lが領域 Dと共有点をもつような最大のNの値と一致する
① ①を満たす0以上のすべての実数x, y, N= ア x+yとなること
と、 直線 l が領域Dと共有点をもつことは同値である。 よって, Nの最大
値は, 直線ℓが領域Dと共有点をもつような最大のNの値と一致する
② 直線 l が領域Dと共有点をもつとき、領域D に属する点 (x, y) で 直線
上にあるものが存在する。 よって, Nの最大値は, 直線ℓが領域 Dの境界
を通るときのNの値と一致する
直線 l が領域 Dと共有点をもつとき、領域Dに属するすべての点(x,y)
が直線上にある。 よって, Nの最大値は, 直線 l が領域 Dの境界を通る
ときのNの値と一致する
( ③ かつ ④
で、 N=
ことと,
の最大値
致する
より
きNは
たがっ
3-2
eが
きの
下図
上が
x
よび
(第2回5)
しかし、実際に使用するのは1包単位, 1錠単位であるから, x, yが①を満たす
20以上の整数のときを考えると, Nはx=y= ス および, x= セ
y=
で最大値 タチをとることがわかる。
(数学ⅡI, 数学 B, 数学C第3問は次ページに続く。)
(第2回-6)
第3問
図形と方程式
〔2〕 微分法・積分法
[1]
[1] あるサプリメントには、1包が1g入りで10円の顆粒、1錠が0.2gで30円の
剤の二つのタイプがある。
含まれる栄養成分は, 顆粒では1包に0.3g, 錠剤では1錠に 0.1gであり、残り
の成分はすべて添加物である。
このサプリメントを二つのタイプの価格の合計が180円以下,かつ, 含まれる添
加物の合計が3.6g以下となるように使用し、 含まれる栄養成分の合計を0.1×N(g)
とするときの最大値を求めよう。
ここで,x,yを実数として2つの不
共通テスト 対応力 UP!
等式 ③ ④ および x≧0, y≧0から
なる連立不等式の表す領域 Dは右図の
斜線部分 (境界線を含む) になる。
また、直線の方程式 ②を変形すると
y=-3x+N
x+3y=18
これは傾き-3, y切片Nの直線を表
す。
① (③かつ④) を満たす0以上の実数x,
7x+y=36①
STEP 1 条件を把握する
与えられた文章から, 必要な数値を
正確に把握する。
顆粒をx包, 錠剤をy錠使用する場合,N-
の合計の条件は
x+yであり,価格, 添加物
lys エ かつ オ attys カキ
- STEP 2 条件を数式で表す
成分の重さや価格についての条件
を等式や不等式で表す。
である。
xyを実数として、①の2つの不等式, およびx≧0, y≧0からなる連立不等
式の表す領域をDとする。
N=ア x+yの表す直線をとするとク
このことから,x, yが①を
満たす0以上の実数のとき. Nはx=y=
で最大値 サシをとることがわ
かる。
しかし、実際に使用するのは1包単位 1錠単位であるから,x, yが①を満たす
0以上の整数のときを考えると, Nはx=y=
- STEP 3 課題を解決する
Nの最大値を求める問題を, 領域と
直線の位置関係の問題に帰着させ
て考える。
ス
および、x=
t
y=
で最大値 タチをとることがわかる。
顆粒と錠剤について, 栄養成分と添加物の量、価格をまとめると次の表
のようになる。
顆粒 (1包あたり) 錠剤 (1錠あたり)
栄養成分
0.3g
0.1g
添加物
0.7g
価格
10円
20.1g
30円
これより、顆粒をx包, 錠剤をy錠使用する場合の栄養成分の合計は
0.1N = 0.3x+0.1y
よって
N=3x+y ......②
価格の合計が180円以下であることから
10x +30y180
x+3y≦18 ...... ③
添加物の合計が3.6g以下であることから
0.7x +0.1y3.6
7+ y ≤36......
k1g-0.3g
(第2回-6)
10)+1)+1-
一差がつく!
問題に関係のある数値を表にま
とめる。 このような表をつくって
おくと, 等式や不等式の係数の間
| 違いを少なくできる。
yで, N=3x+y となるものが存在す
ることと、直線 l が領域 Dと共有点をもつことは同値である。 よって,
Nの最大値は, 直線 l 領域 Dと共有点をもつような最大のNの値と
一致する (0) < Point
図より,直線lが2直線x+3y=18, 7x+y=36の交点(1212)を通る
とき Nは最大となる。 ----[A]
したがって, Nはx=y=1/2で最大となり、最大値は
99_
3.+= = 18
また,x, yが③ かつ④を満たす0以上の整数のときのNの最大値は,直
線が領域 Dに属する格子点 (x座標, y 座標がともに整数の点) を通る
ときのNの最大値である。 < Point
右下図より, 直線ℓが2点 (44), (5, 1) を通るとき Nは最大となる。
したがって, Nは
x=y=4
および
x=5, y=1
で最大となり,最大値は
3・4+4=3・5+1 = 16
<< B
-7x+y=36
x+3y=18
「ATTENTION!
クの選択肢について
一致しないの
⑩① 第1文が異なり、 の主張
が正しい。 「すべて」と「ある」
(存在する) に注意する。
② 第1文は正しい。 しかし, l
がDと共有点をもつとき(Nが最
大とならないときも) eは必ずD
の境界を通るので、第2文の主張
は誤り。
③ 第1文も第2文も誤り。
[A]
2直線x+3y=18, 7x+y=36の
傾きはそれぞれ- 1/3,-7であり,
-13 >3>-7であるから,直線
eが2直線x+3y=18, 7x+y=36
の交点を通るとき,Nは最大となる。
数学化する力
問題文に 「x, yが①を満たす0以
上の整数のときを考える」 とある
が,それがなくても, 「1包単位, 1
「錠単位」 という現実の条件から、直
ℓが領域Dに属する格子点を通
るときを考える。
B
傾きが-3で領域Dに属する格子
点を通る直線のうち、最も上にある
直線を考える。
Point
x, yが不等式で表された条件を満たすときのNの最大値を求める問題
を直線ℓと領域Dが共有点をもつときのNの最大値を求める問題に
帰着させて考える。 直線ℓは傾き-3, y切片Nであるから, 前半の
問題では領域Dと共有点をもつ直線lのうち、最も上にある直線を考
え、後半の問題では領域Dに属する格子点を通る直線ℓのうち、最も
上にある直線を考える。
BI
A
(第2回−7 )
分かりやすくありがとうございます！助かりました！