Question

くまくま

数B、数学的帰納法です！n＝1のとき、答えを見ると、左辺は(n+1)に、右辺は2ⁿ・1にn＝1を代入していると考えました、なぜそこに代入するんですか？式の意味もよくわからないです。
また、矢印の分数部分の計算が分かりません、いきなり分数になった途中式的なものを知りたいです。
教えてください！

(n+1)(n+2)(n+3).
(2n)=2.1.3.5 (2n-1)

2) [1] n=1のとき
左辺 =1+1=2,右辺 =2′・1=2
よって, n=1のとき, (A) が成り立つ。
[2]n=kのとき (A) が成り立つ, すなわち
(k+1)(k+2)･････ (2k)
=2.1.3······(2k-1)
が成り立つと仮定すると, n=k+1のときの
(A) の左辺は
(k+2)(k+3)········(2k)
(2k+1)(2k+2)
2.1.3.5 (2k-1)
・(2k+1)(2k+2)
k+1
2.1.3.5. (2k-1)
(2k+1)2(k+1)
k+1
=2+1.1.3.5.....(2k-1X2k+1)
n=k+1のときの (A) の右辺は
2k+1.1.3.5..(2k-1)(2(k+1)-1}

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

数学にわか

こんにちは！
簡単な解説を添付いたしましたのでご確認ください。
分からない部分、読めない部分等ありましたら遠慮なく仰ってください🙇‍♂️

質問の内容から、数学的帰納法の考え方が微妙に分かっていないのかな、？と感じましたので、帰納法イメージも合わせて記載しております！蛇足になってしまっていたらごめんなさい💦

くまくま

ありがとうございます！分かりやすいです！
どうしてk+1で割るのですか？

数学にわか

そのままの形では代入ができないからです！
基本的に(ii)はn=kの時の結果を利用するのですが、(利用しなくて解けたらわざわざ帰納法使う必要ないので！)そのままの形で利用できない場合があります。今回もその例で、そのままの形では代入できませんので、k+1で割って無理やり代入している感じです！

もちろん先に(2k+2)=2(k+1)の計算をしてしまえばそのままの形で代入できるので、そちらの方法でも問題ありません！🙆‍♂️

帰納法の問題はいかにn=kのときの式を上手く用いれるかが重要(そこができれば解けることが多い)です！

くまくま

ありがとうございます😊