147
重要 例題 86 2次関数の係数決定 [最大値・最小値] (2)
①
定義域を0≦x≦3とする関数 f(x)=ax2-2ax+bの最大値が9,最小値が1の
とき,定数a,bの値を求めよ。
数ko
な正の定
82
求め、
る。
基本85
指針
a=0 (直線),
a>0 (下に凸の放物線),
この問題では,x2の係数に文字が含まれているから,αのとる値によって,グラフの
形が変わってくる。 よって, 次の3つの場合分けを考える。
a<0 (上に凸の放物線)
≠0のときは, p.137 例題 80 と同様にして、最大値・最小値をα の式で表し,
(最大値) = 9, (最小値) =1から得られる連立方程式を解く。
なお,場合に分けて得られた値が、場合分けの条件を満たすかどうかの確認を忘れな
いようにしよう。
f(x)=a(x-1)'-a+b
2
関数の式を変形すると
10
3章 2次関数の最大・最小と決定
解答 [1] a=0のとき
f(x)=b (一定)となり,条件を満たさない。
[2] α>0のとき
y=f(x) のグラフは下に凸の放物
線となり,0≦x≦3の範囲で f(x)
はx=3で最大値f (3) = 3a+b,
x=1で最小値f (1) = -a+b
をとる。したがって
3a+b=9, -a+b=1
[a>0]
軸
最大
(近)
まず, 基本形に直す。
TRAH
常に一定の値をとるから,
最大値 9, 最小値1をと
ることはない。
<軸は直線x=1で区間
0≦x≦3内にあるから,
a>0のとき
「最小
x=0x=1
x=3
これを解いて
a=2,b=3
これは α>0を満たす。
[3] α < 0 のとき
y=f(x) のグラフは上に凸の放物
軸から遠い端 (x=3) で
最大 頂点 (x=1) で最
小となる。
この確認を忘れずに。
をとれち
[a<0] 軸|
線となり,0≦x≦3の範囲でf(x)
はx=1で最大値f (1) = -a+b,
x=3で最小値f (3) =3a+b
をとる。 したがって
最大
近
<軸は直線x=1で区間
0≦x≦3内にあるから,
a< 0 のとき
-a+b=93a+b=1
これを解いて
a=-2,6=7
これはα < 0 を満たす。
以上から
a=2, 6=3 または α=-2,6=7
最小
頂点(x=1) で最大
x=0 x=1x=3
軸から遠い端 (x=3) で
最小となる。
この確認を忘れずに。
10
■ 問題文が “2次関数" f(x) =ax2+bx+cならばα≠0 は仮定されていると考えるが, “関数”
f(x)=ax2+bx+c とあるときは, a=0のときも考察しなければならない。
