Question

のーあいであ

292番のような問題を見たときに注目する所とどのようにしたら答えに導けるのかの考え方を教えてください。
どなたかよろしくお願いします。箇条でも良いので

第5章
積分法
nonl 2n
2n
Sin +
2n
Nπ
+sin
mol) mil
2n
(((2) lim
n→∞n
n+1
(分)+(2)+(2)+
+:
-1)"}
9(3) lim
1
2
3
+
n2+12
81U
+
n2+22n2+32
+・
・+
n
+
2n-1
n
n²+n²
(4) lim√1+√)+(√2 + √n )² + .....+(√n + √n)³}
n→∞n
□ 292 次の不等式を証明せよ。 ntdt
☆食
42
π
2
dx
20
<ρ(2) / fix
S
20
11/2
(sinx + cosx)dx<
*(1) <√1-12 sin³x 72
□ 293 関数の定積分を用いて,次の不等式を証明せよ。ただし,nは自然数と
する。
ヒント
不
2(vn+1-1)<1+
<1+1/
+
1/1
++.
3
2√2-1 es
S
n
289 両辺をxについて微分する。
290 (つ)
1k
に変形。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

感覚でも多少はなんとか行けてしまう問題です
ただ、難しくなると頭打ちになるでしょうから、
余裕があれば何か参考書なりで
腰を据えて取り組んだらいいです

中央の被積分関数の中の変数について不等式をつくり、
中央の定積分の式に近づけていきます
以下ざっくり感覚的に書きます

たとえば(1)は積分区間0〜π/2において
sinxは0〜1
sin²xは0〜1
(1/2)sin²xは0〜1/2
-(1/2)sin²xは-1/2〜0
1-(1/2)sin²xは1/2〜1
√(1-(1/2)sin²x)は1/√2〜1
1/√(1-(1/2)sin²x)は1〜√2
この1≦1/√(1-(1/2)sin²x)≦√2を0からπ/2まで積分して終

たとえば(2)は積分区間0〜1において
sinx+cosxは合成して√2sin(x+(π/4))は1〜√2
(sinx+cosx)²は合成して1〜2
一般に0≦a≦1のときaˣはxの減少関数だから
x^(sinx+cosx)²は合成してx²〜x¹
このx²≦ x^(sinx+cosx)² ≦xを0から1まで積分して終

のーあいであ

ご丁寧にありがとうございます