18 2次不等式 すべての』について…
次のの不等式の解がすべての実数となるような, 定数mの値の範囲を求めよ.
(m+1)m²+2mx+m-1<0
グラフを活用する 解の配置と同様に, グラフを活用しよう.
(東北福祉大, 改題)
「2次関数f(x)=ax+bx+c (a40) がすべての実験に対してf(x) <0を満たす」...(*)
ということをy=f(x) のグラフを利用してとらえると,D co
(*) 「放物線y=f(x) がx軸 (直線y=0)の下側にある」
⇔「放物線y=f(x) が上に凸で,かつェ軸と共有点をもたない」
⇔「2の係数α < 0, かつ、f(x)=0の判別式D<0」
2012 (20)
になる。
なお, a=0のときは,f(x)=bx+c (直線) であり,このときつねに
②P-Q(1) f(x)<0となる条件は,傾きが0で切片が負であること、つまり
Q(2)
>
a<0,D<0
yo
yetin)
/v=f(x)
3
②
0
エ
C
共上
y=f(x)
(aco
Do
「 b = 0 かつc <0」
TJ
である. (f(x)が負の値を取る定数関数であることが条件
AU
解答
1767)
くて
m=-1のとき,f(x)=-2x2となり不適である.
D<0
(0)
Do
(20)
20
Paffx) = (m+1)mx2+2mz+m-1とおく.
②①=0のとき, f (x)=-1となり適する。
.m≠-1,m=0 のとき, つねに f (x) <0となる条件は,
(m+1)<0かつ 2次方程式f (x) =0の判別式D<0
が成り立つことである.
(m+1)<0により,-1<m<0.
D/4=m²-(m+1)m(m-1)=m{m-(m+1)(m-1)}<0
①により,m-(m+1) (m-1)>0
m²-m-1<0
よって,
1-√5
2
1+√5
1-√5
<m<
であり, ①とから,
<m<0
2
2
以上により求める範囲は,
1-√√5
2.
<m≤0
①10:0
ico
注
「f(x)=ax2+bx+c (a≠0) がつねに正」
⇔「a>0,かつ, f(x) =0の判別式D<0」
注 関数f(x) が最大値をとるとき,
○
「f(x)がつねにf(x) <0」
「f(x)の最大値<0」
・①
である。この考え方で, f (x) =ax2+bx+c (a≠0) がつねに負となる条件
を求めてみよう。 まず, a<0でなければならず,このとき,
f(x)=a (x+2)² -
b262-4ac
b2-ac
の最大値は
4a
-4a
であるから, 最大値 <0b2-4ac<0 (∵
よって,その条件は, a <0 かつb2-4ac <0
4a>0)
「すべてのェに対してf(x) O
とはならない。
M+1 70
mico
グラフが上に凸
1-√√5
1+√5
<0<
2
2
y=f(x)
T
a>0,D<0
D=b4ac であるから, 前文の
条件と同じ
18 演習題(解答は p.62)
すべての実数
+1≧0が成り立つような
に対してー2(α-1)ry+y2+(a-2)y
αの範囲を求めよ.
(阪南大)
thle
まず1文字を固定し,別
の1文字だけを動かす
ぱぱっと
①1対
51
