Question

にひ

なぜ1だと分かるんですか？？あとどういう思考回路でこの解法になるのか知りたいです笑笑難しい、、

例題 2.44 点の存在範囲(2)
複素数 α, β は |α-1|=1, \β-il = 1 を満たす
(1)α +β が存在する範囲を複素数平面上に図示せよ、
****
(2) (α-1)(β-1) が存在する範囲を複素数平面上に図示せよ.(一橋犬 )
[考え方 α-1=cosp+isinp、β-i=cosq+ising とおける
解答
(a+β=z として、(α-1)+(β-i)=z-1-i から点zの存在範囲を考える.
(2) (α-1)(β-1)=(cosp+isinp) (β-1) は, 点β-1を原点のまわりにだけ回転し
た点である
www
(1) α+β=z とおくと, (α-1)+(β-i) = a +β-1-i より
z-1-i=(-1)+(β-i)・・・①
ここで, |α-1|=1 より α-1 =cosp+isinp (0≦p <2.
wwwwwwwww
C2-95
|β-il=1より、β-i=cosq+ising (0≦q<2m) とおける。よって、①は、
z-1-i= (cosp+isinp)+(cosq+ising)
つまり,
ここで、
=(cosp+cosg) +i(sinp + sing)
=2 cos cos 2-9+2isin 2+ cos 2-9
p+q
2
=2cos(cosisin +9 )
2
cosb-9
z-1-i|2|cos cos ++isin 25g
=2 2
COS
p+g +isin +9=1 で .
2
p±q|=1
2
2
|
0100
同
IS YA
0≦p<20g<2πより
π
<
2
3
であるから、cos201
第5章
したがって, ②より
|z-1-i≤2
よって, a+β(=z)の存在範囲は,点1+iを
中心とする半径2の円の内部および周上であり,
右の図の斜線部分(境界線を含む)
10
3 x
(2) |β-i=1 より 点βは,点を中心とする半径1の円の周上を動く、
よって、点β-1 は, 点 -1 + iを中心とする半径1の円の周上の点である、
また, |α-1|=1 より, α-1=cosp+isinp で
あるから, (α-1)(β-1)=(cosp+isinp)(β-1)
(0≦p<2m)で定まる点は,点-1 + iを中心とす
る半径1の円を、原点のまわりに1回転した図形
を形成する. よって、 (α-1) (β-1)の存在範囲は、
原点を中心とする半径√2-1の円と半径√2+10
の円とで囲まれた範囲であり、 右の図の斜線部分
(境界線を含む)
ya
lv2 +1
√2-12-1
√2+1
V2 +1
2-1
-√2-1
練習 複素数α βは |α-1-il=1, |β-il=1 を満たす.
C2.44 (1) βが存在する範囲を複素数平面上に図示せ
***
(2)(α-1-i) (B-2)が存在する範囲を複素数平面上に図示せよ.

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

Take

頑張るぞ様
確かにこれは難問ですね。
☆まず最初のご質問「なぜ１だと分かるのか」は、
　原点を中心とする半径１の円の方程式は |z|=1　…①
　原点を中心とする半径１の円上の点は z=cosθ+i sinθ　…②
　②を①に代入して|cosθ+i sinθ|=1
というわけです。(本問では θ=(p+q)/2)
☆次の質問「どういう思考回路か」は、
α+β の存在範囲を知りたいので、数学Ⅱであれば P(x,y) とおくところだが、数学Cでは z=α+β とおきます。そして、
与えられた条件が |α-1|=1, |β-i |=1 であることから、α-1 と β-i に帰着するべく、
　z=(α-1)+(β-i)+(1+i)
と変形します。ここで、
　|α-1|=1 は「点１を中心とする半径１の円」
　|β-i |=1 は「点 i を中心とする半径１の円」
　α+β は「点 β を α だけ平行移動したもの」　←点 α を β だけ平行移動でもよい
であるから、円 |α-1|=1 は固定して、円 |β-i|=1 の真下が円 |α-1|=1 上にあるように、円 |β-i|=1 を転がすと
点 1+i を中心とする半径２の円の内部になりそうだ、と気付いて、
|z-(1+i)|=|(α-1)+(β-i)|=…≦2
をめざす、といった感じです。

にひ

なりそうだと最初に思って解いていくんですね、、難しいですね笑理解出来ました！！ありがとうございます！！