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真偽を調べる問題は、反例が1つでもあれば偽なので、まず反例を頑張って探します。
見つからなければ、真であることを証明する方向に切り替えます。
(1)たとえば、a=√2(無理数)、b=-√2(無理数)のとき、a+b=0(有理数)で、これが反例です。
(2)反例が無さそうなので、真であることを証明してみます。
＜背理法による証明＞
元の命題の仮定は満たすが結論は満たさない、すなわち「a、bはともに無理数、かつ、a+b、a-bはともに有理数である」を満たすa、bが存在すると仮定する。
a+b=p、a-b=qとおくと、(p+q)/2=aが成り立つが、左辺は明らかに有理数なので、仮定「aは無理数」と矛盾する。
したがって、背理法により元の命題は真である。
＜対偶による証明＞
元の命題の対偶「a+b、a-bがともに有理数ならば、a、bの少なくとも一方は有理数である」が真であることを示す。
a+b=p、a-b=qとおくと、(p+q)/2=aが成り立つが、左辺は明らかに有理数なので、aも有理数である。
対偶が真なので、元の命題も真である。
