Question

Ｊ

63番が難しくて、解説を読んでもなかなか理解できません。なぜこのような式になるのか分かりません。また、計算の過程で最後140×10になるわけが分かりません。140×9ではないのでしょうか？

43
63 1 から 100 までの自然数で100と互いに素であるものの個数を求めよ。 また, それらの2乗の和
を求めよ。 ただし, 自然数αとが互いに素であるとは,αとの最大公約数が1であることをい
う。
100
100
100
T
2
60
10
40個
100-60=40
=
Σ(10k+1)+(10k+3)+(10k+7)+(10k+9)}
K=0
Σ(400k+400k+140)
K-0
400
•
9(9+1)(2.9+1)+400・1/1.9(9+1+140
133400
=114000 +18000+1400=
10

174
クリアー 数学B
(2)
= 2+5+8+ ......
+ (3k-1)
これは, 初項2. 公差3の等差数列の、 初頭から
第項までの和であるから
1/12M(2-2+(k-1),3)=1/12(3k+1)
したがって
S=
A(3k+1)=
2
―宮(400k+400k+140)
400199+1×2-9+1)+400-/12.99+1)
-114000+18000+1400-133400
+140-10
64 (1) 1-a = ((k+1)k)² -{kk−1)
=k²(k+1)²-k² k-1)²
=k²(k+1)-(k-1))
11
Z(1+1){(20+1)+3}
1(1+1)-2(1+2)
=2121(1+1)1+2)
-
=1/12/13/1/2(+12+1)+
11
+ {-
1+1/(x+1)}
+1 (2w+1)+1)
-m(n+1)-2(n+1)=
1)=1/2m(n+1)2
622k=1/2m(n+1)=1/12(㎥°+m)であるから
(2)=(2-1(+税)
n
=12(+2)
(n² n)
-21/11(1+1/21 + 1) + 1/2(+1}}
Z(
(2) (1)から
よって
k=1
=k2.4k=4ka
4-1
= ((a²²-a²³)+(a²-a²²)
(2
=(a+²-a³)=0+
={(n+1)2
=1210+112
(3) 413-43=((k+1)k}_{k(k-1)}3
=k(k+1)3-k(k-1)3
={(k+1)-(k-1)3}=k(6k²+
=6k5+2k3
(4)(3)から12/12/22
よって
63 まず, 1から10までの自然数で100と互いに
素でないもの, すなわち, 100 と1以外に公約数
をもつものの個数を求める。
(ak +1"
a
k3
100=22.52 であるから, 100 と互いに素でない自
然数は2または5の倍数である。
(a³-a³)=(a³—a₁³)+(as³-
k=1
+...... + (@s+1 -
よって,その個数は
+
5
100 100 100
2
=60 (個)
10
=a+1
ゆえに, 求める個数は 100-6040 (個)
また, 1から100までの自然数で100と互いに素
であるものは,kを0から9までの整数として
ゆえに, ①と (2) から
=n(n+1)3
2-1/n^+1-1/21/min+1
と表される。
10k+1, 10k+3, 10k+7, 10k+9
よって, 求める2乗の和は
9
k=0
{(10k+1)+(10k+3)2 + (10k+ 7 ) 2
k=1
(n+)
12
+(10k+9)2}
=
n2(n+1)2(2m(n+1)-1}
1/12n2(n+1)(2m²+2n-1)

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

Dylan🍔

140×10 になるのは、k=0 から始まっているからです
0, 1, … , 9 は、10個の数字になります

それ以外でわからない部分があれば
何でも聞いてください
解答のどの部分までが理解できていますか？

Ｊ

なるほど!そういう事だったんですね!ありがとうございます。ごめんなさい、最初から、なぜこのような式になるのか全く理解できていません。

Dylan🍔

「100 と互いに素」というのは解説にあるとおり
最大公約数が１ということです
例えば
15と100はどちらも5で割り切れるので
互いに素とは言えません

100 を素因数分解すると、2²×5²
つまり、
2の倍数（偶数）と5の倍数は互いに素ではない
ということなので、これ以外の数だけを考えます

Dylan🍔

最初の式は、除外する数字の個数を求めるものです
最初の問題が、該当する数字の個数を求める
になっていますので…
2の倍数の個数+5の倍数の個数−10の倍数の個数 = 60個
これを全体から引いて、40個
これが最初の部分です

Ｊ

なるほど!　とてもわかりやすいです✨
ご丁寧な説明ありがとうございました！質問ばかりしてごめんなさい！
後半の10k+1などはどこからきたのでしょうか？

Dylan🍔

後半の部分
まぁこれがこの問題の本題なのですが…
該当する数（100と互いに素）というのは
先ほど見たように
「1から100のうち、2と5の倍数になっていないもの」
です
言いかえると
「末尾（1の位）が、1, 3, 7, 9」
ということになります
これを簡単に計算したいので
1の位の数字ごとに分けます
1の位が1の数：1, 11, 21, … ,91 は
10k+1 (k=0, 1, … , 9)
になります
3, 7, 9 も同じように考えます
k = 0, 1, … , 9 の条件は、Σ で書けそうですね
それが解答の後半の最初の式です

あとはこれを落ち着いて計算します
2乗のカッコを展開してまとめた方が簡単なので
そのように計算しています

Ｊ

わかりやすい…🥲解説なんかよりも何倍もわかりやすいです！本当にありがとうございました!たくさん質問しちゃってごめんなさい！

Dylan🍔

高校生向けの参考書では
ここまで細かく説明しているものはないかも

数学が苦手なみんなにも
数学嫌いにはなってほしくないので…

たくさん質問してもらって大丈夫ですよ
こちらも教えるスキルがアップするのがうれしいです
お互いがんばりましょう

Ｊ

本当にありがとうございました！神です✨
数学が苦手な私でもめっちゃわかりやすかったです！

Dylan🍔

普段、情報系でプログラミングとかしているので
今回のような「問題を分解して考える」ことに
慣れているだけなのかも

ちなみに、教科「情報」のプログラミングにも
出てきそうな問題でした

Ｊ

そうなんですね！今年から情報も始まったので　頑張ります！