Question

みえ

高2数学、等式、不等式の証明です。
左の写真の問題の答えが右側の写真です。
答えの、赤線のところで、どうして①が②になるのかがわかりません😢
教えてください🙇‍♀️

*51 不等式√x2+y^2≦x+yl≦√2(x2+y2) を証明せよ。
→教p.32 応用例題5

51
■指針■
不等式 ABSC を証明する場合は
ASB かつ B≦C を示せばよい。
(x + y)² - (√√√x² + y²)²
=(|x|² + 2|x||y|+|y|²) - (x² + y²)
=(x²+2|xy| + y²) — (x² + y²)
=2|xy|≥0
よって
(√√√x² + y² )² ≤ ( | x+y)²
√x2+y20.x + x≧0 であるから
x² + y² ≤|x|+|y
12
①
{√2(x²+ y²)}-(x+y)²
..
1
=2(x²+ y²)-(x2+2xy+y2)
②=2(x²+ y²)-(x2+2xy + y²)
=x2-2xy+32
=(x-4)²≥0
よって (|x| + |y|)²≤ {√√√2(x² + y²) }²
|x|+|y≥0, √√2(x² + y²) ≥0 T₺ 3/15
x+y≤√√2x²+ y²)
① ② から
②
√√√x² + y² ≤ x + y ≤√√√2(x² + y²)

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

はちゅリケ

まず①から次の行にかけて二乗で√が外れます。
√が外れた行から②にかけて、式全体的に絶対値がつくかつかないかどっちかに揃えたいのですが、絶対値を外した式に揃えてしまうと、lxllylの計算がマイナスも出てきてしまうので、全体的に絶対値ありに揃えたいです。そして式前半ではxにもyにも二乗がついています。つまりxとyが正の数でも負の数でも二乗して正の数になります。つまり絶対値をつけても結局は計算結果は変わらないので絶対値をつけてると思います。

間違っていたらすみません

みえ

ありがとうございます！