Question

みみ

画像3枚目の別解てgにeを代入して負になることを確かめているのですがこれは自分で予測を立ててeを代入するということですか？教えて頂きたいです。

共通接線
k を正の定数とする. 2つの曲線 C1 : y = log x, C2: y = ekx
について,次の問いに答えよ.
(1) 原点Oから曲線 C1 に引いた接線が曲線 C2 にも接するようなk
の値を求めよ.
(2) (1) で求めたkの値を ko とする. 定数k が k > ko を満たすとき
2つの曲線 C, C2 の両方に接する直線の本数を求めよ.
と
[愛媛大〕

(2)条件より
ke
A301-
k>ko= =
e2
① ②が一致するとき
1/2 = keks
=
④, -1 + logt =kseks + eks.... ⑤
④、⑤を同時に満たす実数の組 (s, t) の個数が共通接線の本数になる.そこ
1
で④:t=-
keks
を⑤に代入すると
fon
-1+ log
1
=
keks
-kseks + eks
::
ekskseks + ks + logk + 1 = 0
6
が1つ定まれば ④よりも1つ定まるので, ⑥を満たす実数s の個数が求
めるものである. ⑥の左辺を f(s) とおくと
=f'(s) = keks-keks - k² seks + k = k(1-kseks) ......... (*)
s≦0 のとき f'(s) > 0
( ´ .k > 0)
s0 のとき,k > 0 より seks は s の増加
関数だから、f'(s) は減少関数である. こ
84s
=
れと lim_f'(s) = -∞ により f'(s) = 0
となるsはただ一つだけ存在し,その値を
α とする. これより右下表を得る.
増減は不明だが符号は正
a
0
70
単調に減少し
S
∞ に発散
\y = f'(s)
また
00
f(s) = seks (1-k+
818
→18
lim_f(s) =-∞
8118
であり ③を用いると
S
k
logk+1
o f'(s)
+
eksot
f(s) 1
seks
[∞x(-k)=-∞]
.........(*)
a
0

の本数は2である.
別解 [ ④ ⑤までは解答と同じ〕 ④より
eks
=1
ks = log
=
=-logk-logt
(S)
kt
kt
これらを⑤に代入すると,
1
-1 + logt = (logk+logt) kt
1 +
kt
(kt - 1) logt-kt-1-log k = 0
⑦
分母をはらって整理すると(12) 豚(
の方程式 ⑦の解の個数を調べればよい.そこで, ⑦の左辺をg(t) とおくと
4
t
g(t)=klogt+(k-1)1-k=klogt-1
+gol+
t
-
k は正だから,上式よりg' (t) (t > 0) はtの増加関数で
limg(t) =-∞, limg(t) = ∞
limg(t)=−oo, g(t)=0 ra đi ở
0+←1
844
だからg (t) = 0 となるはただ1つ存在する. その値をβ とすると,t = B
の前後で g (t) の符号は負から正へと変化す
るので, 増減は右表の通り
また
-8
t
(0)
g' (t)
g(t)
limg(t) = lim (ktlogt-logt-kt-1-10gk)
t+0
t→+0
=8
lim_tlogt=0, lim logt
0+←1
t+0
limg(t) = lim-logi (k-
1
k
1 + logk
8041
t→x
log t
t logt
8=
B
B-0
+
mil S
==
00-
g(e)=ke-1-ke-1-logk=-logk-2 = (2)
<-log112-20
=
(③)
(e) mil