Question

わん

行列の連立漸化式の解き方が分からないので教えてください！ここまできた後に、どのようにして一般項を求めれば良いのですか？

問2.5. A- (122) P-(12)とおく。このとき,
-2
(1)
B = P-1APとおく。 B を求めよ。
(2) Am を求めよ。
(3)
自然数nに対して,数列{a,}, {bm}が,
San+1=an+bn
(bn+1=-2an+4bn
を満たし, q=1, b=0 であるとき, 数列{a}, {b,}の一般項を求めよ。

1 Ani+1 = Au+bn
|
bu+1 = -2an+4 bu
an
(any) = ('2 ^) (a^^)

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

詩音

例えばa[n+1]＝2a[n]といった漸化式がある場合、
一般項a[n]は
a[n]＝2a[n-1]＝(2^2)a[n-2]＝……＝(2^(n-1))a[1]
という感じで求めることができますよね。
今回の行列でも同じようにすればいいです。

(行列を文字で打つと見にくいですがすみません🙇‍♀️
ちなみに「;」で行が変わります)

[a[n];b[n]]＝[1 1;-2 4][a[n-1];b[n-1]]
＝[1 1;-2 4]^2 [a[n-2];b[n-2]]
＝……
＝[1 1;-2 4]^(n-1)[a[1];b[1]]

a[1]とb[1]は問題文から与えられているので、
あとは[1 1;-2 4]^(n-1)を計算すればいいだけですね。
一応言っておきますが、[1 1;-2 4]^(n-1)は
行列の対角化で求めれます。

分かりにくかったらすみません🙇‍♀️

詩音

すみません、[1 1;-2 4]^(n-1)は(2)で
m＝n-1とすればすぐ求まりますね。