Question

みみ

積分の問題なのですが、a.bが偶関数か奇関数かはどのようにしてわかったのですか？教えて頂きたいです。

EX xについて1次以上の整式で表される関数f(x), g(x) が
150
f(x)=S,{(x-1)f(t)+g(t))at, g(x)=(S,xf(t)dt)
を満たす。このとき,f(x) と g(x) を求めよ。
[類 早稲田大 ]
f(x)=S_txf(t)-f(t)+g(t)}dt
=xSª¸ ƒ(t)dt+S'¸{−tf(t)+g(t)}dt
S,f(t)dt=a, S., (t)+g(t)}dt=b とおくと
f(x)=ax+b
なるべく文字は
←xは積分定数tに無関
係であるから, 定積分の
前に出す。
TOS
a

また
153
よって
(x)=(xf_s(1)dt)=x^2
-1
S_,f(t)dt='_,(a+b)at=26S,dt=201
1
(2)
=26
t = 26
S₁ (tf (t) +g(t)}dt={' (-t(at+b)+a²t²}dt
-1
-1
=S,(a(a-1)-bt}dt
-1
=2fa(a-1)tdt
←Sの定積分
-a
偶数次は2S®
奇数次は 0
0
=
2a(a-1a(-1)
=
3
ゆえに2b=a, 1/3a(a-1)=6.
②
2
①から b=1 これを②に代入して
.0
さ
3
a(a−1) =
2/20(a-1)/1/2
a
よって
4a²-7a=0
すなわち a(4a-7)=0
ここで, f(x) は1次以上の多項式であるから
(2x)
a = 0
7
ゆえに
a=
よって, ① から
b=
7
7S+18
4
8
64
したがってf(x)=72x+2/23g(x)=1
49
←f(x)=ax+
x²
2
16
g(x)=a²x²

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

mo1

参考・概略です

＞a.bが偶関数か奇関数かはどのようにしてわかったのですか？

●「a.bが偶関数か奇関数」ではなく

　　tについての関数　a(a－1)t²　が偶関数で

　　tについての関数　－bt　が奇関数です

●大まかには、以下のような感じです

　f(t)₁＝a(a－1)t²　として　

　f(－t)₁＝a(a－1)(－t)²＝a(a－1)t²　で

　　　f(t)₁＝f(－t)₁　となるので、偶関数

　f(t)₂＝－bt　として

　f(－t)₂＝－b(－t)＝bt　で、|f(t)₂|＝|f(－t)₂|であるが

　　f(t)₂≠f(－t)₂　となるので、奇関数