Question

miya

上から2番目の問題の解き方と答え教えて欲しいです🙇‍♀️

4.
(1) (2) 半径1の球に内接する直円錐で, その側面積が最大になるものに対し, その高さ,
底面の半径, および側面積を求めよ。
(3)(4) 放物線y=x2上の点Pから2直線y=x-1, y=5x-7 にそれぞれ垂線PQ, PR を
下ろす。 点Pがこの放物線上を動くとき, 長さの積PQ PR の最小値を求めよ。 また,
そのときの点Pの座標を求めよ。
(5)(6) 0 を原点とする。 放物線の一部y=3-x2(y≧0) とx軸に平行な直線が異なる2点
A, B で交わるとき, 三角形OAB の面積の最大値とそのときの点A,Bの座標を求めよ。
(7) (8) 半円 x2+y2=9 (y>0)の周上に点Pをとり,Pからx軸に垂線PQ を下ろす。
A (-3, 0) とするとき, APQ をx軸の周りに回転してできる円錐の体積の最大値を求
めよ。
(9)(0) 放物線y=x2上の点で, 点 (63) から最短距離にある点の座標と, その距離を求め
よ。

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

高橋

点から直線に下ろした垂線の長さ＝点と直線の距離

y＝x－1　⇒　x－y－1＝0
y＝5x－7　⇒　5x－y－7＝0

点Pの座標を(t、t²)とすると、
PQ＝|t－t²－1|/√(1²＋(－1)²)＝|t²－t＋1|/√2
t²－t＋1＝(t－1/2)²＋3/4＞0なので、PQ＝(t²－t＋1)/√2
PR＝|5t－t²－7|/√(5²＋(－1)²)＝|t²－5t＋7|/√26
t²－5t＋7＝(t－5/2)²＋3/4＞0なので、PR＝(t²－5t＋7)/√26
PQ･PR＝(t²－t＋1)(t²－5t＋7)/(√2･√26)＝(t⁴－6t³＋13t²－12t＋7)/2√13

f(t)＝t⁴－6t³＋13t²－12t＋7とすると、f'(t)＝4t³－18t²＋26t－12＝2(2t³－9t²＋13t－6)
f'(1)＝0より、f'(t)＝2(t－1)(2t²－7t＋6)＝2(t－1)(2t－3)(t－2)
t＜1のときf'(t)＜0、t＝1のときf'(t)＝0、1＜t＜3/2のときf'(t)＞0、t＝3/2のときf'(t)＝0、3/2＜t＜2のときf'(t)＜0、t＝2のときf'(t)＝0、2＜tのときf'(t)＞0
よって、f(t)はt＝1で極小値、t＝3/2で極大値、t＝2で極小値をとるので、f(1)とf(2)のうち小さい方がf(t)の最小値である
f(1)＝1－6＋13－12＋7＝3、f(2)＝16－48＋52－24＋7＝3
したがって、t＝1、2のとき、f(t)は最小値3をとる

以上より、PQ･PRの最小値は、3/2√13＝3√13/26
そのときの点Pの座標は、(1、1)、(2、4)

miya

ありがとうございます🙇‍♀️