Question

きなこ

蛍光ペンを引いた部分がなぜそうなるのかわからないので、教えて欲しいです。

387 f(x)=x+ x3x² とおく。 曲線 y = f(x) に点 (0, α) から接線がただ
1つ引けるとし,しかもその接線はただ1点でこの曲線に接するとする。こ
のときの定数αの値を求めよ。
(大阪大)

のグラ
この関数のグラフは,右
このグラフがx軸とただ
1つの共有点をもつため
には、下のようになれば
よい。
N
すなわち極大値と極小値が同符号であればよい。
これより
√(√²+ ) ¹ (-√√) > 0
>0
となるαの値の範囲を求めればよい。
は
ここで
a
√(√) - ÷ √√÷-a√3 + a
小
3 V
したがって
または
--3-3-√3/20
a
a
-√√) --√√3+√√ ÷ +
+a
V3
0<a<
a
a
小√(-)
3
27
4
+ a
a
//av/fonta
a.
+ a
2
- ( - 1 ² √ √ = + 0) (² + ²√ √ = + a)
ta
- (-27a²+ a²)
=a²(1 - 12/17 ª)
したがって, a>0 の範囲で
(√(√) > 0 となるαの値の範囲
an
co/a
27
⑦より
a<²7
4
387 曲線 y=f(x) 上の点 (t, f(t)) における接
線の方程式は,f'(x)=4x+3x²-6xより
y (¹+t³-31²) = (4t³ +3t²-6t)(x-t)
すなわち
y (4t³+3t²-6t)x-3t4-2t³ +3t²
この直線が点(0, α) を通るとき,
a=-3t-21+3 を得る。
方程式 a=-3t-23 +3 の実数解がただ1つ
になるようなaの値が 求めるものである。
ここで,g(t)=3 213 +312 とおくと, 方程
式a=-3t-263 + 32 の実数解の個数と曲線
y=g(t) と直線y=a の共有点の個数は一致す
る。 g (t) の導関数は
g'(t)=-12-6t°+6t = -6t(t+1) (2t-1)
よって, g(t) の増減表は次のようになる。
t
:
|-1
+
g' (t)
g(t) 7 2
したがって, y=g(t) の
グラフは右の図のように
なる。
曲線 y=g(t) と直線
y = a がただ1点を共有
するのは、 a=2のとき
である。
よって, 求めるαの値は
a=2
388 f(x) が極大値をもつための必要十分条件は,
f'(x) の値が正から負に変わるような実数xが存
在することである。
そこで,f'(x) の増減を調べる。
g(x)=f'(x)=4x-2ax+b とおくと
g'(x)=12x²-2a
0
20
=2(6x2-α)
0
+
1
2
7
0
5
16
y
12
N₂
16
217.
(i) a ≦0 のとき
つねにg'(x) ≧0 となるので, g(x) は単調に増
加する。
したがって,f'(x)の値が正から負に変わるよ
うな実数xは存在しない。
(ii) a>0 のとき
+√
x=±
|06 な
a
g'(x)=0 となるとき
よって,g(x) の増減表は次のようになる。
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導関数 微分係数