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ひきわり様
「AとCが独立⇔Aと(notC)が独立」 ←Cの余事象を表す集合を(notC)と表記しました
(証明)
【→】
A=A∩S ←全事象を表す集合を S とおきました(ふつうは U ですが、集合算と紛らわしいため)
=A∩(C∪(notC)) ←一般に A∪(notA)=S
=(A∩C)∪(A∩(notC)) ←集合算 A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) です。不安であればVenn図で確認を
∴A=(A∩C)∪(A∩(notC)) …①
また、(A∩C)∩(A∩(notC))=Φ …②
①②より確率の加法定理を用いると
P(A)=P(A∩C)+P(A∩(notC))
∴P(A∩(notC))=P(A)-P(A∩C)
=P(A)-P(A)P(C) (∵A,C:独立)
=P(A)｛1-P(C)｝
=P(A)P(notC)
よって、A,(notC):独立
【←】
前半の証明で C に (notC) を代入すればよい。 ■
となります。
（コメント）
この証明は少しやっかいなので、無理に解答例のようにしなくても、
AとCの独立・従属を直接調べればよいと思います。
所詮、全事象は36通りですから。
ひきわり様
ひきわり様の図は「事象 A , C が独立」ではなく、「事象 A , C が互いに排反」を表します。
「事象 A , C が独立」とは、等式
P(A∩C)=P(A)P(C) …①
が成り立つことをいいます。
たとえば、1つのさいころを1回だけ投げるとき、
事象A：2以下の目が出る
事象C：奇数の目が出る
とすると
P(A∩C)=1/6 , P(A)P(C)=(2/6)・(3/6)=1/6
∴P(A∩C)=P(A)P(C)
よって、(A , C は互いに排反でなくとも) A , C は独立になります。
なお、事象 A , C が排反だと P(A∩B)=P(Φ)=0 であるから、等式①が成り立つためには
P(A)=0 or P(C)=0
になってしまいます。
ひきわり様
このPCからは描画できないため、言葉で説明します。
(1) A=A∩S ←Sを全体集合、Aをその部分集合として描けば自明です。
(2) C∪(notC)=S ←Cの内部とCの外部の和集合は全体集合になります。
(3) A=(A∩C)∪(A∩(notC)) ←A,Cが少しだけ重なるように図を描きます。
AのうちCと重なる部分がA∩C、AのうちCと重ならない部分がA∩(notC)であるからVenn図より A=(A∩C)∪(A∩(notC)) です。
また、一般的な集合算 A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) も同様にしてVenn図で確認できます。
なお、「AとCが独立⇔Aと(notC)が独立」を示そうとしてVenn図を描いても意味がありません。
事象の独立は等式①をみたすことなので、そこは気をつけてください。
(1) A=A∩S ←Sを全体集合、Aをその部分集合として描けば自明です。
(2) A∪(notA)=S ←Aの内部とAの外側の和集合は全体集合になります。
(3) A∩(B∪C)=(A∩B)∪(A∩C) ←
(4) A=(A∩C)∪(A∩(notC))
失礼しました。
回答の終わりに消し残しがありますが、気にしないでください。
ご丁寧にありがとうございます😭
AとCが独立であるというベン図は写真のようになるのであっていますでしょうか？