Question

たまごかけごはん

波線部分が理解できません😿なぜそのように言い換えられるかが不明ですよろしくお願いします🙇

EN論法で, 数列の極限を攻略しよう!
数列と関数の極限
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一般項an が与えられたとき,その極限liman の問題は高校でも既に勉
強しているね。でも,数列{an}が極限値 αをとることを示す厳密な証明
法として,大学の数学では,e-N論法をマスターする必要があるんだよ。
イプシロン・エヌろんぼう”と読む。
まず,この “e-N論法” を下に示す。
E-N論法
正の数をどんなに小さくしても,ある自然数 N が存在して,
nがn≧Nならば,|an-a|< となるとき,
liman=α となる。
n→∞
これだけでは,なんのことかわからないって? 当然だね。 ここは,大学
の数学を勉強する上で, みんなが最初にひっかかる第1の関門だから丁寧
に話すよ。
この意味は,正の実数を小さな値, たとえば, c = 0.001にとったとし
ても,ある自然数Nが存在して, 数列 41, 2,., an-1, ax, ax+1, … のうち
n≧Nのもの, すなわち ax, ax+1, に対して, α との差αが、
(N,N+1,...
ε=0.001より小さく押さえられる, と言っているんだね。
ここで,正の実数は連続性と稠密 (ちゅうみつ)性をもつので,こ
を限りなく0に近づけていくことができる。 それでもあるNが存在し
n≧N をみたす an について, lan -α < が成り立つといっているわけ
ら, n→∞のとき, α はαに限りなく近づいてlim=α と言える
だね。 納得いった?
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微分積分 ε-n論法

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

Q&A専

例としてan=1/n(0に収束)をε=0.001で見てみましょう。n=1のときはa1=1で|1-0|>εになり、当然満たしませんよね。ただ、nを大きくしていくとn=0.0009では|0.0009-0|<εとなり抑えつけられることができます。なのでNの値は0.0009とすると、n≧Nの全てで|an-α|が成立するため、Nを考えることが必要になります。

たまごかけごはん

ありがとうございます！！