Question

なたろー

（4）について、
この面積がなぜ、△AP1Q1になるか教えて欲しいです！

=
〔II〕 nを自然数とする. 座標空間内に, ベクトル= (1,1,1) に平行
で原点 0 を通る直線l , ベクトル=(2,3,-1) に平行で点(0,1,-3)
を通る直線がある。 n = 1,2,3,... に対して,直線ℓ上の点Pn と,
直線 m 上の点Qn を次のようにそれぞれ定める.
点P1 の座標は (5,5,5) である。点Pn が定まったとき, 直線上
の点Qnを条件 PQ1=0 により定める. 点Qn が定まったと
き,直線l上の点Pn+1 を条件 QnPn+1=0 により定める.
PnQn
点Pの座標をan, 点Qn の 座標を 6 とおく. 次の問いに答えよ.
(1) 条件 PnQnd = 0 を使って, bn を an を用いて表せ.
(2) 条件 QmPn+1
←
←
k=1
an+1 を n を用いて表せ.
=0を使って,
(3) anをnの式で表せ.また, α = lim an, β = lim bn とおくとき,
a
n→∞
n→∞
α, β の値を求めよ. さらに, 直線l上の点Pと直線上の点Q
のx座標がそれぞれαとβのとき, 点Pと点 Q の座標を求めよ.
(4) APQPn+1の面積を Sn とし, △QnPn+1Qn+1 の面積をTとす
る。 lim (k + Tk) の値を求めよ.
n
84x

(3)
200 2022年度 数学(解答)
Ⅲ 解答
s) で表すことができ, 直線l上の点P
よって、直線上の点は (s, s,
のx座標が am であることから, 点Pの座標を(an, an, an) と表すこと
また、直線m上の任意の点を(x, y, z) とすると, tを実数として
(x,y,z)=(0,1,-3)+(2,3,-1)=(2t,3t+1, -t-3)
よって、直線m上の点は (2t,3t+1, -t-3) で表すことができ、 直線
m上の点Qmのx座標がbm であることから, 点Qの座標を
(02/21 +1.0-120-3) と表すことができる。
3
P.Q. - (b₁-an bu-an+ 1. - be-a-3)
PQR*V=0&
2(6.- a.) + 3(b-a.+1)-(-26₁-a.-3)=0
7b-4an+6=0
4
=7an-7
an+1=-b
=1/12/0
4
(x,y,z)=(0.0.0)+s(1,1,1)=(s, s, s)
bm=-
小最大最
(2) QePor- (de-de. deri+ ba+3)
QnPn+1=an+1-bn, an+1
=(a+
an+1+
an+1=-b
同志社大･生命医科・文化情報・スポーツ (理系)
(1) 直線上の任意の点を(x,y,z)とすると,sを実
数として
QPn+1=0より
3
(ans-ba) + (auts-be-1) + (a1 + 12b₂+3)=0
3an+1-2bm+2=0
=-=-=-bn-
bn=
より,6m を消去して
6 (答)
-an
2
3
3 3
6
3.
･･････(答)
Spol!
098x1
Spol
&
(*) (8)
JANUA
UROCS JO
012620 91AJATNO N
同志社大-生命医科･文化情報・スポーツ 〈理系型 >
26
21
これは、次のように変形できる。
-(an+2)
るから
また
4
2017/11/12/10-2127) - 2012/30
-an-
8
21 an
an+1+2=
125, 8091 (2+2) 30+2=5+2=7, 20 orech
8
21
an
8
n-1
an +2=7 ( 2 ) **
〃
n-1
8
= 7(21) ²²-2
POST
a=liman
12-00
8
21
8 n-1
= lim{7 (21) ¹-2}
12
(答)
=-2
B=limbn
∞
=liml
72-00
4
7
-an-
4
=1/(-2)-16
7
2022年度 数学 <解答> 201
(答)
=-2
よって、点Pの座標は
(-2, -2,-2)
点Qの座標は (-2.12/28(-2)+1/12(-2)-3) より
(-2,-2,-2) ······ (答)
4
Qmともに点(-2,-2,-2) (点Aとする)に近づき,
点P,
直線と直線は点Aで交わるので同一平面上にある。したがって
lim(S+Tk)とは三角形 AP Q 」 の面積であるから,この面積は
11-00/=1

2022022年度 数学<解答>
で求めることができる。
AP₁=(7. 7. 7)
APIPIAQ (AP-AQ₁)²
AQ (4. 6. 2)
であるから
AP₁=7√3
AQ₁=2√14
AP₁ AQ₁=56
よって, lim (Sa+T) の値は
1
同志社大 ・ 生命医科･文化情報・スポーツ (理系)
√/7²·3·2·14-2²-2¹.7² = 2·7·2√/42-16=7√26
別解 (4) 三角形 P QP+1 と三角形 QPQ を合わせたものは,
台形 PQQ 1P+1 となるので, 面積の和Sn+T" としてこの台形の面積
を求めればよく
Sn+Tn=— -•|QnQn+1 |(\PnQn|+|Pn+1Qn+i])
と表すことができる。
1
QeQers-(bass-be. (bar-ba). - (bras-ba))
-1-bn)
n+1]
2
6
3
2
.....()
2
= ( (a-an). 7(an-an). — 7/7 (an-an))
13 8
39
13
8
-(-2³ (2) - 2 (2) 7(2)")
4
4 21
13 / 8
8
| QeQ+= 1/³ (2)√(-2)²+(-3)² + 1² = 13√14 (2)
21
P.Q.-(bu-an. b-a₂+1.-bn-an-3))
2
2
3/4
-((ª.-7) - α. 2 ( 7 α--7) - ₂+1-
=
an
-an+1,
27
1
2
6
(4ª---7)-a₁-3)
an
◎志社大 ・ 生命医科･文化情報・スポーツ (理系型)
って
よって
=(-2(a₂+2). (an+2). - 7(an+2))
IP.Q.1=(21) √(-3)²+(-1)²+(-9)²-√91 (8)
8
| Pn+iQn+il = √91 ( 2 )"
7
8 n-1
-(-3(21) -(21)". -9(2)^')
21
8
n-1
Sato/11
Sn+Tn=-
k=1
13√14
8
8
(2)(()()
( 21 )" { √91 ( 21 )" ¹ + √91 ( 21 )"}
13.29 26 8 2(n-1)
63
21
\2
(Sa+T) - 13-29/26 (2)
63
lim (Sr+T)=lim-
72100 k=1
n→∞
8
1-(2)
13-29√26
63
2022年度 数学 (解答) 203
13.29 26
63
13.29 26
63
DANA
13-29/26
63
1-
8 2n
21
8
1-(2-)²
8 \²
1-(-21)
212
212-82
n-1
3².7²
(21+8) (21-8)
ED VI
=7√26
<解説>
<空間における図形の面積の和の極限値>
(1) まずは, 媒介変数を用いて, 直線l上の点の座標を表す。 点P ,
Q のx座標がそれぞれ an, bn となることから点P, Qnの座標を表そ
う。 点の定義の仕方から, bn を an で表す。 (2) も同様にして, an+1 を bn

高校数学 ベクトル 極限 同志社 2022