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うめ様
y''+(k-4)y=0
よって、特性方程式は t²+(k-4)=0
(ⅰ) k-4<0のとき (k<4)
特性解は t=±√(4-k)
∴y=C1＊exp｛√(4-k)x｝+C2＊exp｛-√(4-k)x｝
初期条件 y’(0)=y’(π)=0 より C1=C2=0
∴y=0
(ⅱ) k-4=0 のとき (k=4)
特性解は t=0 (重解)
∴y=(C1+C2x)＊exp(0x)=C1+C2x
初期条件 y’(0)=y’(π)=0 より C1=C2=0
∴y=0
(ⅲ) k-4>0 のとき (k>4)
特性解は t=±√(k-4) i
∴y=exp(0x)＊(C1cos｛√(k-4) x｝+C2sin｛√(k-4) x｝)=C1cos｛√(k-4) x｝+C2sin｛√(k-4) x｝
初期条件 y’(0)=0 より C2=0
∴y=C1cos｛√(k-4) x｝ …①
初期条件 y’(π)=0 より y’(π)=-C1√(k-4) sin｛√(k-4) π｝=0
∴C1sin｛√(k-4) π｝=0 (∵√(k-4)≠0) …②
②について、次の 2 つの場合がある。
(a) sin｛√(k-4) π｝=0 のとき (√(k-4) π=nπ ⇔ k=n²+4 , n∈N)
このとき、②より C1は任意定数。よって、①より
y=C1cos｛√(k-4) x｝
(b) sin｛√(k-4) π｝≠0 のとき (√(k-4) π≠nπ ⇔ k≠n²+4 , n∈N)
このとき、②より C1=0。よって、①より
y=0
以上、(ⅰ)～(ⅲ)より
k=n²+4 (n=1,2,3,…)のとき y=C1cos｛√(k-4) x｝ ■
k≠n²+4 (n=1,2,3,…)のとき y=0 ■
になります。
丁寧に書いていただき理解出来ました！ありがとうございます！！