Question

😇

(3)番のところで、どのように、場合分けされてるのかが分かりません。詳しく教えて下さい🙏

B
3
解答
(1)
2次関数 (20点)
2つの2次関数f(x)=ax²-6ax+9a-1,g(x)=-x²+4ax-4a²+1 がある。 ただし,
αは0でない定数とする。
(1) y=f(x)のグラフの頂点の座標を求めよ。
(2) x2 におけるf(x) の最大値から最小値を引いた値をPとする。 Pをαを用いて
表せ。
(3) / a <1とする。 0≦x≦2における g(x) の最大値をM, 最小値をm とする。 (2)のPに
ついて, M-m = P となるようなαの値を求めよ。
配点
(1) 4点(2) 6点 (3) 10点
f(x)=ax²-6ax+9a-1
=a(x2-6x+9)-1
=a(x-3)2-1
よって, y=f(x)のグラフの頂点の座標は (3,-1)
闇 (3,-1)
放物線y=a(x-p2q の頂点
の座標は (p,q)である。

(2)
(i) a>0のとき
(3)
0≦x≦2において, f(x)はx=0で
最大, x=2で最小となるから
最大値は f(0)=94-1
最小値は f(2)=α-1
よって P=(a-1)(a-1)=8a.
(ii) α <0 のとき
0≦x≦2において, f(x)はx=2で
最大, x=0で最小となるから
最大値は
=α-1
f(2)
最小値は
f(0)=94-1
よってP=(a-1)-(9a-1)=-8a
(i), (ii)より
a> 0 のとき P=8a
a<0のとき P=-8a
完答への
道のり
g(x)=-x2+4ax-4a²+1
=-(x-4ax+4a²) +1
0≦x≦2において, g(x)はx=0で
最大, x=2で最小となるから
M=g(0)=-4a²+1
m=g(2)=-4α²+8a-3
a < 0 のとき, P=-8α であるから
M-m = Pより
O
=-(x-2a)2 +1
よって, y=g(x)のグラフの頂点の座標は (24, 1)
(i) 24 < 0 すなわちa<0の
KOのとき
(-4a²+1)-(-4a² +8a-3) = -8a
8a+4=-8a
これを満たす α の値はない。
( 0 <2a≦1 すなわち0<a≦2のとき
0≦x≦2において, g(x)はx=2aで
最大, x=2で最小となるから
M=g(2a)=1
O
-1
m=g (2)=-4a² +8a-3
0<a≦1/12 のとき,P=84 であるから、
2 3
AEa>0とα < 0 の2つの場合に分けて考えることができた。
BF それぞれの場合において, 定義域とグラフの軸の位置関係から最大値を求めることができた。
CG それぞれの場合において, 定義域とグラフの軸の位置関係から最小値を求めることができた。
DH それぞれの場合において,Pをaを用いて表すことができた。
y=f(x)
圏 α>0のとき,P=8a
a<0のとき,P=-84
1
y=f(x)
10 1
20
2a NO
2a
1
x
2
< a>0 のとき, グラフは下に凸で
ある｡
グラフの軸が定義域の右外にある
場合。
a < 0 のとき, グラフは上に凸で
ある。
グラフの軸が定義域の右外にある
場合｡
y = g(x)
x
y = g(x)
X
グラフの軸 x 24 が定義域の左
外にある場合。
グラフの軸 x = 24 が定義域内の
中央, または中央より左側にある場
合。

M-m = Pより
1-(-4a²+8a-3) = 8a
4a²-16a+4=0
a²-4a+1=0
これを解くと α=2±√3
0<aska=2-√3
( 1 <22 すなわち / <a<1のとき
0≦x≦2において、g(x)はx=2aで
最大, x=0で最小となるから
M=g(2a)=1
m=g(0)=-4α²+1
1/12 <a <1のとき,P=84 であるから,
M-m=Pより
1-(-4a²+1)=8a
4a²-8a=0
4a (a-2) = 0
a= 0, 2
これは 1/28 <a < 1 を満たさないため不適。
(i) ~ (m)より, 求めるαの値は α=2√3
完答への
道のり
4 2次不等式 (20点)
ya
1
O
配点
(1) 5点 (2) 7点 (3) 8点
1 12
2a
y = g(x)
1.5 <3 < 2 より
0<2-√3</
場合分けの条件を満たすか吟味す
る。
グラフの軸 x = 24 が定義域内の
中央より右側にある場合。
圏 a=2-√3
y=g(x)のグラフの頂点の座標を求めることができた。
BEH 定義域とグラフの軸の位置関係に注目して、3つの場合に分けて考えることができた。
F① それぞれの場合において, M-m=Pの条件から, a についての方程式を立てることができた。
GJ それぞれの場合において, a についての方程式を解き、解の吟味をすることができた。
◆場合分けの条件を満たすか吟味す
る。
2次不等式 x2 +3x+2 > 0 ..... ① と, 2次関数 f(x)=x2-2x-a²+6a-3 がある。 た
だし,αは定数とする。
(1) 2次不等式 ① を解け。
(2) y=f(x)のグラフがx軸と共有点をもたないようなαの値の範囲を求めよ。
(3) 2次不等式 ① を満たすxの値の範囲において, y=f(x)のグラフがx軸とただ1つの共
有点をもつようなαの値の範囲を求めよ｡