第3問~第5問は,いずれか2問を選択し、 解答しなさい。
第4問 (選択問題)(配点20)
nを2以上の自然数とする。 1からnまでの番号が一つずつ書かれたn枚のカー
ドがあり, カードに書かれた番号が上から順に 「1,2, 3, ..., n」 となるように重
ねてある。 そのカードの束に次の操作を繰り返し行う。
操作
作業 1:
一番上にあるカード1枚を, カードの束の一番下に入れる。
作業2:
作業1のあと, 一番上にあるカード1枚を束から取り除く。
n枚のカードの束に対して, カードが1枚になるまで操作を繰り返したとき,最後
に残るカードに書かれた番号を f(n) とする。
(1) n=2のとき、はじめ、2枚のカードがあり, カードに書かれた番号は上から順
に 「1,2」 である。
まず作業1では、1と書かれたカードを束の一番下に入れるから、作業のあと、
カードに書かれた番号は上から順に「2,1」 である。
次に、作業2では, 一番上にある2と書かれたカードを束から取り除くから、作
業のあと、1と書かれたカードだけが残る。 よって, f(2)=1である。
同様にして、 順に求めると, f(3) =
ア
f(4)=
イ
である。
3 (数学Ⅰ・数学A 第4問は次ページに続く。)
( 2 3以上の自然数とする。
n=2のとき､束から取り除くカードに書かれた番号は、1回目の操作では
ウ
であり, 2回目の操作では エムであり、回目の操作ではオ
で
ある。
8
回目の操作のあと、カードの束にはカ 枚が残り, 一番上にあるカードに
書かれた番号は キ
であり, 一番下にあるカードに書かれた番号は
ある。
カ
0 1
⑤ p + 2
p-2
6 2p-2 ⑦ 2p-1 8
2
4
5
2P
② p-1 3 p
2p
f(1)=1, f(2)=1,15(3):3,f(4)=1
クの解答群(同じものを繰り返し用いてもよい。)
4
20
①
5
2p
1
3
ク
5
④ p+1
5
で
(数学Ⅰ・数学A 第4問は次ページに続く。)
P=3
(2)
3以上の自然数とし, n=2p とする。
1回目の作業1のあと, カードに書かれた番号は
上から順に 「2, 3, 4, ..., 2p, 1」 となるから, 1
回目の作業2では2と書かれたカードを束から取り
除く。
2回目の作業1のあと, カードに書かれた番号は
上から順に 「4,5,6, ..., 2p, 1,3」となるか
ら2回目の作業2では4と書かれたカードを束か
ら取り除く。
同様に操作を続けると, p回目の操作までに偶数
が書かれたカードを順に1枚ずつ取り除き, 奇数が
書かれ カードを順に束の一番下に入 るから p
回目の操作では, 2p と書かれたカードを束から取
り除く。
また,回の操作で, 2, 4, 6, ･･･, 2p と書かれ
た全部で枚のカードを取り除き, カードに書かれ
た番号は上から順に 「1, 3,5,･･, 2p-1」 とな
あるから, カードの束には p枚のカードが残る。
そして, 一番上にあるカードに書かれた番号は
108-849
➡ O
一番下にあるカードに書かれた番号は
2p-1
n枚のカードの束に対して, カードが1枚にな
るまで操作を繰り返したとき、 最後に残るカードに
書かれた番号は f (n) である。 このことから,上か
ら順に 「1,3,5, ..., 2p-1」 が書かれた p枚
のカードの束に対して, カードが1枚になるまで操
作を繰り返したとき, 最後に残るのは, 束の上から
f(p) 番目にあるカード, つまり, 2f (p) -1 と書
COOPISING BAA
かれたカードであるから
f(2p) =2f(p)-1
これを用いると+++
f(8)=2f(4)-1
=2・1-1=1
① (16)=2f(8) 1
= 2.1-1=1
同様に, 自然数んに対して, 一般に
ƒ(2k) = 1
が成り立つ。
+
(1)のイで1になるように、f(p)=pは成り立たないと思うのですが…、、。