Question

Hi（受験生）

186.
このような記述でも問題ないですよね？
またこの類の問題ではほとんどの場合互いに素を用いるように思うので、互いに素を使いたい、そして有理数の性質（m/nでm,nは整数でn≠0）よりこのような証明方法になるということですよね？
また、有理数であることを仮定してから、「x= m/n(m,nは整数、n≠0)と表すことができる」と直で書いても問題ないですか？x>0であったり、m,nが正の数であることは特に書く必要無いと感じたのですが、、、

演習 例題186 指数方程式の有理数解
(1) 3*=5 を満たす xは無理数であることを示せ。
(②2) 35-2y=53-6 を満たす有理数x,yを求めよ。
m
(m,nは整数,n≠0) と表される数を有理数といい, 有理数でない
n
指針 実数において,
ものを無理数 という｡
(1) 無理数であることの証明では, 有理数であると仮定して, 矛盾を導く (背理法)。
(2) 方程式1つに変数がx,yの2つ。 有理数という条件で解くから, (1) が利用できそう。
底が3,5であるから, 3' =5 [(1)] の形にはならないことを用いる。
解答
(1) 3=5を満たすxはただ1つ存在する。
そのxが有理数であると仮定すると, 3*=5>1 であるから
m
CHART 無理数であることの証明 (有理数) とおいて、 (1)
n
背理法
事柄が成り立たないと仮定し
て矛盾を導き, それによって
m
x>0で,x=- (m,n は正の整数)と表される。 =(a+事柄が成り立つとする証明法
(数学Ⅰ)。
n
m
37=5
よって
両辺をn乗すると
3m=5n
①
ここで,①の左辺は3の倍数であり,右辺は3の倍数ではな
いから,矛盾。
よって, xは有理数ではないから、無理数である。…
3x-y+6=5x+2y
(2)等式から
2) spol
x+2y=0 と仮定すると, ② から
x-y+6
3x+2y = 5
練習
③ 186
x,yを有理数とすると, x-y+6, x+2y はともに有理数で
x-y+6
x+2y
......
ゆえに
このとき, ② から
よって
x-y+6=0
④,⑤を連立して解くと
も有理数となり, (1) により③は成り立たない
Gram
x+2y=0
000
3x-y+6=1
基本 167
x=-4, y=2
等式 20x10y+1 を満たす有理数x,yを求めよ。
3と5は1以外の公約数を
もたない。 このとき,3と
5は互いに素 という。
3÷36=5÷5-2y
3x-(y-6)=5x-(-2y)
②から3-y+6)x+2y
X
= (5x+2y)x+2y
(1) で3'=5を満たすは
無理数であることを証明し
ている。
KH
④: x+2y=0 と仮定して,
矛盾が生じたから,
x+2y=0 である。｣<
40 T810
Op.294 EX120
53

例題186
リウス=5を満たす又は有理数であると仮定する
く指針て
仮定したとこうぐ有理数とはいったい何なのか。
有理数とは、lm.nは整数キロ)
と表すことのできる数のことである。
3² = 541 3
270 TJ aja
x=xlm.nは正の整数)と表すことができる。
つまり、
271₁34 = 5
両辺を乗すると、5=-①
うとちは互いに素である。ぐ、①は補している。
これば(えは有理数ざないから、無理数である。
NO.
DATE