Question

A

【ε-δ論法_連続性の証明】
参考書内の演習問題についてです。
以下①～③の3点教えてください。

▼画像の赤枠について
・①なぜ|x-1|²がδ²に変化するのでしょうか？
・②δ² + 4δ - ε = 0がなぜδ = -2±√(4+ε)になるのでしょうか？

▼ε-δ論法の概要について
・③ざっくり要約すると、
　　関数が連続的であるかを確かめるためε-δ論法を使用し、
　　|f(x)-f(a)| <εを満たすδがあればそれは連続的な関数ですよ。
という認識で合っておりますでしょうか？

有識者の方ご指導の程お願いします。

lim∫(x)=f(1) を示すための - 論法は次の通りだ。
x→1
> 0, 80s.t. 0<x-1|<8⇒\f(x) f(1)| <e
解答&解説
Yɛ>0, ³8>0 s.t. 0<|x-1|<8⇒\ƒ(x) −ƒ(1)|<ɛ
(*)
このとき, lim f(x)=f(1) となって, f(x)はx=1で連続と言える。
ナ
正の数』をどんなに小さくしても、 ある正の数 が存在し, 0<x-1|<8 ならば、
|| (x) - f(1) | <e となるとき, limf(x)=f(1) が成り立つ。 連続条件
よって, (*)が成り立つことを示せばよい。
0<|x-1|<8のとき,
|f(x) f(1)|=|x'+2x-3|=|(x-1)(x+3)|
= |(x−1){(x−1)+4}|
=|x-1+4|x-1|-
< 82+48
1²+2+1=3
公式:
||A+B|≦|A|+|B||
を使った!
+
ヒント!
が成り立つことな
解答&解説
Y>0, ³8
f(x) f(1) | <82+48 < g
をみたす正の数 8 の存在を
示せばよい。
82 +48g < 0 をみたす
の範囲をで表す。
このとき, lim
よって, (*
0<|x-2
( ':' |x-1|<8)
ゆえに,正の数がどんなに小さな値をとっても, 8' +48 - <0 をみたす正の
数δ が存在することを示せばよい。 この不等式を解いて、
-2-√4+ <8<-2+√4+8
百
8 の2次方程式: 82+48-8 = 0
の解δ=-2±√4+6
これを使った!
lg(x
よって,どんなに小さな正の数が与えられても, 8 <-2+v4+c をみたす正
の数 8 が存在するので, (*)は成り立つ。
これで, f(x) が x=1で連続であることが示された。
… (終)
W

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

sin theta

解答を画像にまとめました。

A

理解できました。ご教授ありがとうございます。