Question

しろ

回答を見ても分からなかったので優しい方解説お願いします🙇🏻‍♀️（2）です。

81
n
次の条件によって定められる数列{an}の一般項を, bn=an+1-aとおくこ
とにより求めよ。
*(1) α=1, an+1=2an+n-12
(2) α=1, an+1=3an+4n

(2) 条件から an+2=3an+1+4(n+1)
an+1=3a+4n
辺々を引くと
bn=an+1-aとおくと 6+1=36„+4
これを変形して
an+2an+1=3(an+1-an) +4
DE
bn+1+2=3(6+2) 1①
ここで、a2=341 +4･1=7であるから
b1+2=(a2-a)+2=(7-1)+2=8
よって, 数列{bn+2} は初項 8, 公比3の等比数
列であるから
JE
=1+
b₂+2=8.3n-1 S.E=S-
すなわち
bn=8.3"-1-2
数列{bn} は数列{an}の階差数列であるから,
n≧2のとき
n-1
an= a₁ + (8.3k-¹-2)
k=1
8(3"-¹-1)
-2(n-1)
E3-1
=4.3"-1-2n-1
初項は α = 1 であるから, この式はn=1のとき
にも成り立つ。
したがって
an=4.3"-1_2n-1

漸化式 置き換え

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

mo1

参考・概略です

(2) a[1]＝1
　　a[n＋1]＝3a[n]＋4n　･･･　①

　●a[n＋1]＝3a[n]＋4n　で，nをn＋1として
　　a[n＋2]＝3a[n＋1]＋4(n＋1)　･･･　②　をつくり，

　　　辺々を引くと(②－①を考え整理)
　　　　　　 a[n＋2]＝3a[n＋1]＋4(n＋1)
　　　　　　 a[n＋1]＝3a[n　 ]＋4 n
　　―――――――――――――――――――
　　a[n＋2]－a[n＋1]＝3a[n＋1]－3a[n]＋4
　　a[n＋2]－a[n＋1]＝3{a[n＋1]－a[n]}＋4　･･･★

　●b[n]＝a[n＋1]－a[n]　･･･③と置くと，
　　　nをn＋1として
　　b[n＋1]＝a[n＋2]－a[n＋1]　･･･　④

　　★に③，④を代入し，この数列を考えます
　　　b[n＋1]＝3b[n]＋4

　　これを変形すると(特性方程式の使用が早い)
　　　b[n＋1]＋2＝3{b[n]＋2}

　　これで，{b[n]＋2}が公比3の等比数列とわかるので
　　　初項を求めます
　　　　初項を考える為に，a[1]と①より
　　　　　a[2]＝3a[1]＋4･1＝3＋4＝7　を求め
　　　　③と置いてあるので
　　　　　b[1]＝a[2]－a[1]＝6　を求め

　　ここで，{b[n]＋2}の
　　　初項が，b[1]＋2＝6＋2＝8　とわかります

　　よって，
　　　数列{b[n]＋2}は，初項項8，公比3の等比数列なので
　　　　b[n]＋2＝8･3ⁿ⁻¹
　　すなわち，
　　　　b[n]＝8･3ⁿ⁻¹－2

　ここまでが第一段階です，
　　あとは，③より

　　a[n＋1]－a[n]＝b[n]　で

　　　{b[n]}は{a[n]の階差数列で

　　公式的な求め方より

　　　a[n]＝a[1]＋Σb[k]

　　　　　＝a[1]＋Σ(8･3ⁿ⁻¹－2)

　　を計算します