Question

Hi（受験生）

222.
なぜ解答3行目のような恒等式ができるのですか？

また係数比較での計算の詳細は解答のように書くべきなんでしょうか？？（大した計算ではないので「計算するとm=◯,n=◻︎とかでいいのかなと思いました。）

最後にu^2-2u-2=0、これはs,t以外の文字を用いて表せばいいんですよね？？

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演習 例題2224次関数のグラフと2点で接する直線
[類 埼玉大
関数y=x(x-4) のグラフと異なる2点で接する直線の方程式を求めよ。
指針 次の①~③3 の考え方がある [ただしf(x)=x(x-4), s≠t]。 ③3 の考え方で解いてみよう
①点(t, f(t)) における接線が, y=f(x)のグラフと点 (s, f(s)) で接する。
(s, f(s)), (t, f(t)) におけるそれぞれの接線が一致する。
③ y=f(x)のグラフと直線y=mx+nがx=s, x=tの点で接するとして、
f(x)=mx+n が 重解 s, tをもつ。 → f(x)-(mx+n)=(x-s)(x-t)^
解答
y=x(x-4) のグラフと直線y=mx+nがx=s,x=t
(st) の点で接するとすると、次のxの恒等式が成り立つ。
x³(x-4)-(mx+n)=(x-s)²(x-t)²
(左辺)=x^-4x-mx-n
(右辺)={(x-s)(x-t)}={x²-(s+t)x+st}2
=x^+(s+t)2x2+s2t2-2(s+t)x3-2(s+t)stx+2stx2
=x²-2(s+t)x+{(s+t)^+2st}x²-2(s+t)stx+s2t2
両辺の係数を比較して
-4=-2(s+t)
-m=-2(s+t)st
①から
③から
①, 0=(s+t)^2+2st
③, -n=s2t2
これ② から
④ から
s+t=2
m=-8
s,tはμ²-2u-2=0の解で,これを解くと u=1±√3
よって, y=x(x-4)のグラフとx=1-√3,x=1+√3の点
で接する直線があり, その方程式は y=-8x-4
... 2.
4
これを変形して
よって, x2+2(t-2)x+3t2-8t=0
Aの判別式をDとすると
st=-2
n=-4
4
x-4x²=(4t3-12t2)x-3t+8t tと異なる重解をもつことである。
(x-t)^{x2+2(1-2)x+3t2-8t}=0
別解y'=4x-12x2であるから,点(t, f(t-4)) における接線の方程式は
y-t³(t-4)=(4t³-12t²)(x-t) Jħ5_y=(4t³-12t²)x-3t++8t³.
この直線がx=s (s≠t) の点でy=x(x-4)のグラフと接するための条件は、 方程式
下の別解は、指針の①の
え方によるものである。
YA
<s≠t を確認する。
D=(t−2)²-1· (3t²-8t) = −2(t²—2t—2)
これを解くと
D=0 とすると t2-2t-2=0
このとき, Aの重解はs=-(t-2)=1+√3 (複号同順)
t=1±√3は2-2t-2 = 0 を満たし
-31¹+8t³ = -(t²-2t-2)(3t²-2t+2)-4--4
10
Aが,tと異なる重解 s をもてばよい。
t=1±√3
4t³-12t²=4(t²-2t-2)(t-1)-8=-8
ゆえに(*) から
よって, s≠t である。
y=-&x-l
E
し
指
C
y':
おすこ
こ
f(
f'
3
t

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

sin theta

4次関数がある直線とx=s, t で接することを4次関数と直線の連立方程式がx=s, tという重解を2つもつと言い換えているからです。
係数比較での計算はこれを解くと〜を得るでもいいと思います。
s, t 以外の文字であれば問題ないです。